Contraste de hipótesis para la proporción

**a) ¿Se puede aceptar la afirmación del concejal si se toma un nivel de significación del 6%?** Primero, identificamos los datos del problema y definimos la proporción poblacional $p$ de jóvenes que practican deporte. - Afirmación oficial (Hipótesis nula): $p_0 = 0,25$ (o $25\%$). - Afirmación del concejal (Hipótesis alternativa): $p < 0,25$ (sospecha que es menor). - Tamaño de la muestra: $n = 450$. - Datos de la muestra: $345$ **no** practican deporte. Por tanto, el número de jóvenes que **sí** practican deporte es: $$x = 450 - 345 = 105$$ Planteamos el contraste de hipótesis unilateral (de una cola a la izquierda): $$\begin{cases} H_0: p = 0,25 \\ H_1: p < 0,25 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula $H_0$ suele ser el valor establecido o de referencia, mientras que la $H_1$ refleja la sospecha o cambio que queremos comprobar.

Calculamos la proporción observada en la muestra ($\hat{p}$) y la desviación típica de la distribución de proporciones muestrales. La proporción muestral es: $$\hat{p} = \frac{105}{450} = \frac{7}{30} \approx 0,2333$$ El error estándar de la proporción, bajo el supuesto de que $H_0$ es cierta, se calcula como: $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p_0 \cdot (1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0,25 \cdot 0,75}{450}} = \sqrt{\frac{0,1875}{450}} \approx \sqrt{0,00041667} \approx 0,02041$$ 💡 **Tip:** Para que la aproximación a la normal sea válida, se debe cumplir que $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot (1-p) \ge 5$. En este caso: $450 \cdot 0,25 = 112,5$ y $450 \cdot 0,75 = 337,5$, por lo que es correcto usar la normal.

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z$ y buscamos el valor crítico para un nivel de significación $\alpha = 0,06$. El estadístico de contraste es: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0,2333 - 0,25}{0,02041} \approx \frac{-0,01667}{0,02041} \approx -0,8167$$ Para un nivel de significación $\alpha = 0,06$ en un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,06 \implies P(Z \lt z_{\alpha}) = 1 - 0,06 = 0,94$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, para una probabilidad de $0,94$, el valor de $z_{\alpha}$ es aproximadamente $1,555$ (está entre $1,55$ y $1,56$): $$z_{0,06} \approx 1,555 \implies \text{Valor crítico} = -1,555$$ La **región de rechazo** (o crítica) es el intervalo $(-\infty, -1,555)$. ✅ **Estadístico de contraste:** $$\boxed{Z \approx -0,817}$$ ✅ **Valor crítico:** $$\boxed{z_c = -1,555}$$

Comparamos el estadístico de contraste con el valor crítico. Como $Z = -0,817$ es mayor que el valor crítico $-1,555$ ($Z$ no cae en la región de rechazo), **no podemos rechazar la hipótesis nula $H_0$**. Esto significa que la diferencia entre la proporción afirmada ($25\%$) y la obtenida en la encuesta no es lo suficientemente grande como para ser considerada estadísticamente significativa con un margen de error del $6\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación del concejal al 6% de significación}}$$

**b) ¿Se daría la misma respuesta si el estudio se hace con un nivel de confianza del 99%?** Un nivel de confianza del $99\%$ implica un nivel de significación $\alpha = 1 - 0,99 = 0,01$ (o $1\%$). Buscamos el nuevo valor crítico para un contraste unilateral a la izquierda con $\alpha = 0,01$: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,01 \implies P(Z \lt z_{\alpha}) = 0,99$$ En las tablas de la normal, para una probabilidad de $0,99$, el valor crítico es $z_{0,01} \approx 2,33$ (más exactamente $2,326$). Por tanto, el valor crítico es $-2,33$. La nueva **región de rechazo** es el intervalo $(-\infty, -2,33)$. Nuestro estadístico de contraste calculado anteriormente sigue siendo $Z = -0,817$. 💡 **Tip:** A medida que aumenta el nivel de confianza (o disminuye $\alpha$), la región de rechazo se hace más pequeña y es más difícil rechazar la hipótesis nula.

Comparamos de nuevo: Como $Z = -0,817$ sigue siendo mayor que el nuevo valor crítico $-2,33$, el estadístico sigue estando fuera de la región de rechazo. Por lo tanto, seguimos sin poder rechazar $H_0$. La respuesta es **sí**, se daría la misma respuesta (no se acepta la afirmación del concejal), ya que si no se aceptaba con un $6\%$ de riesgo, con un $1\%$ (mucho más exigente para detectar cambios) todavía es menos probable aceptarla. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se daría la misma respuesta}}$$