Estudio de ganancias de una empresa de transporte

**a) Hallar las ganancias correspondientes a los años primero y quinto.** Para hallar las ganancias de un año concreto, simplemente debemos sustituir el valor de $t$ en la función proporcionada $g(t) = \frac{64000 + 5000t}{5t + 5}$. - **Para el primer año ($t = 1$):** $$g(1) = \frac{64000 + 5000(1)}{5(1) + 5} = \frac{64000 + 5000}{5 + 5} = \frac{69000}{10} = 6900$$ Las ganancias del primer año son **6.900 miles de euros** (6.900.000 €). - **Para el quinto año ($t = 5$):** $$g(5) = \frac{64000 + 5000(5)}{5(5) + 5} = \frac{64000 + 25000}{25 + 5} = \frac{89000}{30} \approx 2966.67$$ Las ganancias del quinto año son aproximadamente **2.966,67 miles de euros**. 💡 **Tip:** Recuerda que la variable $g(t)$ está expresada en miles de euros, por lo que un resultado de 6900 equivale a 6.900.000 €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g(1) = 6900\text{ miles de €};\quad g(5) \approx 2966,67\text{ miles de €}}$$

**b) Determinar si las ganancias aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Razonar la respuesta.** Para determinar si la función crece o decrece, calculamos su derivada $g'(t)$ y estudiamos su signo. Si $g'(t) \lt 0$, las ganancias disminuyen. Usamos la regla de la derivada del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: Si $u = 5000t + 64000 \Rightarrow u' = 5000$ Si $v = 5t + 5 \Rightarrow v' = 5$ $$g'(t) = \frac{5000(5t + 5) - (5000t + 64000)5}{(5t + 5)^2}$$ $$g'(t) = \frac{25000t + 25000 - 25000t - 320000}{(5t + 5)^2}$$ $$g'(t) = \frac{-295000}{(5t + 5)^2}$$ Analizamos el signo de $g'(t)$ para $t \ge 1$: - El numerador es $-295000$, que es siempre **negativo**. - El denominador $(5t + 5)^2$ es un cuadrado, por lo que siempre es **positivo**. Como $\frac{\text{negativo}}{\text{positivo}} = \text{negativo}$, entonces $g'(t) \lt 0$ para todo $t \ge 1$. $$\begin{array}{c|c} t & [1, +\infty) \\ \hline g'(t) & - \\ g(t) & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la derivada de una función es negativa en un intervalo, la función es estrictamente decreciente en ese intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las ganancias disminuyen con el paso del tiempo porque } g'(t) \lt 0 \text{ para todo } t \ge 1.}$$

**c) ¿Se estabilizan las ganancias cuando $t$ crece? ¿Hacia qué valor? Razonar la respuesta.** Para ver si las ganancias se estabilizan, calculamos el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to \infty$). $$\lim_{t \to \infty} g(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{5000t + 64000}{5t + 5}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 1), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to \infty} \frac{5000t + 64000}{5t + 5} = \frac{5000}{5} = 1000$$ Esto significa que, a medida que pasan los años, las ganancias se acercan cada vez más a 1.000 miles de euros (es decir, 1 millón de euros). Existe una asíntota horizontal en $y = 1000$. 💡 **Tip:** El valor de estabilización de una función en el tiempo se halla calculando $\lim_{t \to \infty} f(t)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí se estabilizan hacia un valor de 1.000 miles de euros (1.000.000 €).}}$$