Cálculo de área y precio de una parcela

**a) Dibujar la parcela.** Primero, identificamos las funciones que limitan la parcela: 1. $y = 32$: Es una línea horizontal a la altura de 32 metros. 2. $y = \frac{x^2}{2}$: Es una parábola con vértice en el origen $(0,0)$ que se abre hacia arriba. Para dibujarla con precisión, calculamos los puntos de corte igualando ambas expresiones: $$\frac{x^2}{2} = 32 \implies x^2 = 64 \implies x = \pm \sqrt{64} \implies x = 8, \quad x = -8$$ Los puntos de intersección son $(-8, 32)$ y $(8, 32)$. La parcela es el recinto encerrado entre la parábola (por debajo) y la recta (por arriba). 💡 **Tip:** Recuerda que para dibujar una parábola $y = ax^2$, si $a$ es positivo, la curva es "convexa" (forma de U) y su vértice es el punto más bajo.

A continuación, representamos la región limitada por $y \le 32$ (por debajo de la recta) e $y \ge \frac{x^2}{2}$ (por encima de la parábola).

**b) Calcular el precio de la parcela si se vende a 300 € el metro cuadrado.** Para calcular el precio, primero necesitamos saber la superficie (el área) de la parcela. Usaremos la integral definida entre los puntos de corte $x = -8$ y $x = 8$. $$A = \int_{-8}^{8} \left( 32 - \frac{x^2}{2} \right) dx$$ Como la función es simétrica respecto al eje $Y$, podemos calcular el doble de la integral de $0$ a $8$ para facilitar las operaciones: $$A = 2 \cdot \int_{0}^{8} \left( 32 - \frac{x^2}{2} \right) dx = 2 \cdot \left[ 32x - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{8}$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow: $$A = 2 \cdot \left( \left( 32 \cdot 8 - \frac{8^3}{6} \right) - (0) \right) = 2 \cdot \left( 256 - \frac{512}{6} \right)$$ Simplificamos la fracción $\frac{512}{6} = \frac{256}{3}$: $$A = 2 \cdot \left( 256 - \frac{256}{3} \right) = 2 \cdot \left( \frac{768 - 256}{3} \right) = 2 \cdot \frac{512}{3} = \frac{1024}{3} \text{ m}^2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es la primitiva de $f$.

Una vez obtenida el área $A = \frac{1024}{3} \text{ m}^2$ (que es aproximadamente $341,33 \text{ m}^2$), multiplicamos por el precio del metro cuadrado ($300$ €): $$\text{Precio} = \text{Área} \cdot 300 = \frac{1024}{3} \cdot 300$$ Operamos: $$\text{Precio} = 1024 \cdot 100 = 102.400 \text{ €}$$ ✅ **Resultado (precio):** $$\boxed{102.400 \text{ €}}$$

**c) Si se quiere hacer un intercambio con otra parcela cuadrada con la misma superficie ¿cuántos metros de lado tendría el nuevo terreno?** El área de un cuadrado se calcula como el lado al cuadrado ($A = L^2$). Como la superficie debe ser la misma que la de nuestra parcela: $$L^2 = \frac{1024}{3}$$ Para hallar el lado $L$, calculamos la raíz cuadrada: $$L = \sqrt{\frac{1024}{3}} = \frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{3}}$$ Sabemos que $\sqrt{1024} = 32$: $$L = \frac{32}{\sqrt{3}} \text{ metros}$$ Si racionalizamos o calculamos el valor decimal: $$L \approx \frac{32}{1,732} \approx 18,475 \text{ metros}$$ ✅ **Resultado (lado):** $$\boxed{L = \frac{32}{\sqrt{3}} \approx 18,48 \text{ m}}$$