Venta de billetes de avión entre islas

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, definimos las incógnitas basándonos en lo que nos pide el problema: - $x$: número de billetes para **La Palma**. - $y$: número de billetes para **Gran Canaria**. - $z$: número de billetes para **Lanzarote**. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. "Vende un total de 30 billetes": $$x + y + z = 30$$ 2. "Los billetes para Gran Canaria ($y$) representan el doble de los emitidos para las otras dos ($x, z$)": $$y = 2(x + z)$$ 3. "Los correspondientes a Lanzarote ($z$) son la mitad de los emitidos para La Palma ($x$) más cuatro": $$z = \frac{x}{2} + 4$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de este tipo, lee frase por frase y trata de identificar el signo '=' en expresiones como "son", "suman" o "representan". El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 30 \\ y = 2(x + z) \\ z = \dfrac{x}{2} + 4 \end{cases}}$$

**b) Determinar el número de billetes para cada una de las tres islas.** Para resolver el sistema, utilizaremos el método de sustitución, aprovechando que ya tenemos $y$ despejada en función de $x$ y $z$ en la segunda ecuación. Sustituimos $y = 2(x + z)$ en la primera ecuación: $$x + [2(x + z)] + z = 30$$ $$x + 2x + 2z + z = 30$$ $$3x + 3z = 30$$ Simplificamos dividiendo toda la ecuación entre 3: $$x + z = 10$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones siempre que sea posible facilita mucho los cálculos posteriores y reduce el riesgo de error.

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ y $z$): $$\begin{cases} x + z = 10 \\ z = \dfrac{x}{2} + 4 \end{cases}$$ Sustituimos la expresión de $z$ de la segunda ecuación en la primera: $$x + \left( \frac{x}{2} + 4 \right) = 10$$ $$x + \frac{x}{2} = 10 - 4$$ $$\frac{3x}{2} = 6$$ $$3x = 12 \implies x = \frac{12}{3} = 4$$ Una vez hallado $x$, calculamos $z$: $$z = \frac{4}{2} + 4 = 2 + 4 = 6$$ Por tanto, se han vendido **4 billetes para La Palma** y **6 billetes para Lanzarote**.

Finalmente, calculamos el valor de $y$ (Gran Canaria) utilizando la relación $y = 2(x + z)$: $$y = 2(4 + 6) = 2(10) = 20$$ Comprobamos que la suma total es correcta: $4 + 20 + 6 = 30$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La Palma: 4, Gran Canaria: 20, Lanzarote: 6}}$$