Aproximación de la Binomial por la Normal

**a) Probabilidad de que al menos 20 viviendas estén conectadas a INTERNET.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de viviendas conectadas a Internet de un total de $n = 80$. Se trata de una distribución **Binomial** $B(n, p)$, donde: - $n = 80$ (número de viviendas seleccionadas). - $p = 0.25$ (probabilidad de tener Internet, el 25%). - $q = 1 - p = 0.75$ (probabilidad de no tener Internet). Para calcular probabilidades con $n$ tan grande, comprobamos si podemos aproximar a una **Normal**: 1. $n \cdot p = 80 \cdot 0.25 = 20 \ge 5$ 2. $n \cdot q = 80 \cdot 0.75 = 60 \ge 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos $X$ por una variable normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 20$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{80 \cdot 0.25 \cdot 0.75} = \sqrt{15} \approx 3.87$ Por tanto, $X \approx X' \sim N(20, \, 3.87)$. 💡 **Tip:** La aproximación de una Binomial a una Normal es válida cuando $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot (1-p) \ge 5$.

Queremos hallar $p(X \ge 20)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**: $$p(X \ge 20) \to p(X' \ge 19.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$p\left(Z \ge \frac{19.5 - 20}{3.87}\right) = p(Z \ge -0.13)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$p(Z \ge -0.13) = p(Z \le 0.13)$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor para $0.13$: $$p(Z \le 0.13) = 0.5517$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(X \ge 20) = 0.5517}$$

**b) Número esperado de viviendas no conectadas a INTERNET.** El número esperado (o esperanza matemática) de una distribución binomial se calcula como $E[X] = n \cdot p$. En este caso, nos piden el número de viviendas **no conectadas**. Definimos una nueva variable $Y$ para las viviendas no conectadas, donde la probabilidad de éxito (no tener internet) es $q = 0.75$: $$E[Y] = n \cdot q$$ $$E[Y] = 80 \cdot 0.75 = 60$$ 💡 **Tip:** El valor esperado en una binomial es simplemente el total por la probabilidad del suceso que estamos estudiando. ✅ **Resultado:** $$\boxed{E[Y] = 60 \text{ viviendas}}$$

**c) Probabilidad de que el número de viviendas que están conectadas a Internet esté entre 10 y 30.** Buscamos $p(10 \le X \le 30)$. Aplicamos de nuevo la **corrección de continuidad** para el intervalo: $$p(9.5 \le X' \le 30.5)$$ Tipificamos ambos valores con $\mu = 20$ y $\sigma = 3.87$: $$p\left(\frac{9.5 - 20}{3.87} \le Z \le \frac{30.5 - 20}{3.87}\right)$$ $$p(-2.71 \le Z \le 2.71)$$ Calculamos la probabilidad del intervalo: $$p(Z \le 2.71) - p(Z \le -2.71)$$ $$p(Z \le 2.71) - [1 - p(Z \le 2.71)] = 2 \cdot p(Z \le 2.71) - 1$$ Buscamos en la tabla el valor para $2.71$: $$p(Z \le 2.71) = 0.9966$$ $$2 \cdot 0.9966 - 1 = 1.9932 - 1 = 0.9932$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(10 \le X \le 30) = 0.9932}$$