Contraste de hipótesis para la media

**a) ¿Se puede decir que la publicidad es correcta con un nivel de significación del 5%?** En primer lugar, identificamos los datos que nos ofrece el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Media muestral: $\bar{x} = 16$ días - Desviación típica (poblacional o de la muestra grande): $\sigma = 2$ días - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$ La publicidad afirma que la duración es, **como máximo**, de 15 días. Esto lo planteamos como nuestra hipótesis nula ($H_0$), ya que es lo que queremos contrastar. El contraste es unilateral a la derecha porque la sospecha es que la duración es mayor a la declarada: $$H_0: \mu \le 15 \text{ (La publicidad es correcta)}$$ $$H_1: \mu \gt 15 \text{ (La duración es superior a la anunciada)}$$ 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula $H_0$ suele contener el signo de igualdad ($=, \le, \ge$). Si el enunciado dice "como máximo", estamos ante un contraste unilateral derecho.

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z_{exp}$ (o $Z_{calc}$), que nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media teórica: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{exp} = \frac{16 - 15}{2 / \sqrt{64}} = \frac{1}{2 / 8} = \frac{1}{0,25} = 4$$ El valor obtenido es **$Z_{exp} = 4$**.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0,05$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha}) = 0,95$. Consultando las tablas de la distribución Normal $N(0,1)$: $$z_{0,05} = 1,645$$ La **región crítica** es el intervalo $(1,645, +\infty)$. Como nuestro estadístico $Z_{exp} = 4$ es mayor que $1,645$ ($4 \gt 1,645$), el valor cae dentro de la región de rechazo. Por tanto, **rechazamos $H_0$**. Con un nivel de significación del 5%, hay evidencias suficientes para decir que la duración media es superior a 15 días. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la publicidad no se puede considerar correcta.}}$$

**b) ¿Se concluiría lo mismo si la desviación típica fuera igual a 4 y el nivel de confianza igual al 99%?** Actualizamos los datos según las nuevas condiciones: - Desviación típica: $\sigma = 4$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$ - Media muestral y tamaño de muestra se mantienen: $\bar{x} = 16, n = 64$ Calculamos el nuevo estadístico de contraste: $$Z_{exp} = \frac{16 - 15}{4 / \sqrt{64}} = \frac{1}{4 / 8} = \frac{1}{0,5} = 2$$ El nuevo valor es **$Z_{exp} = 2$**.

Ahora determinamos el nuevo valor crítico para $\alpha = 0,01$ (unilateral derecho). Buscamos $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 0,99$. Mirando en las tablas de la normal $N(0,1)$: $$z_{0,01} = 2,33$$ La **región crítica** ahora es el intervalo $(2,33, +\infty)$. Comparamos el estadístico con el valor crítico: $$Z_{exp} = 2 \lt 2,33$$ En este caso, el valor **no cae en la región crítica**, por lo que **no podemos rechazar $H_0$**. 💡 **Tip:** Al aumentar la desviación típica (más dispersión) y aumentar el nivel de confianza (exigir más pruebas para rechazar), es más difícil rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se concluiría lo mismo. En este caso, la publicidad sí se aceptaría como correcta.}}$$