Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Si se maneja una desviación típica igual a 3,5 años y un nivel de significación del 3%, construir el intervalo de confianza para la longevidad media de los habitantes de la comunidad.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 121$ - Media muestral: $\bar{x} = 79,5$ - Desviación típica: $\sigma = 3,5$ - Nivel de significación: $\alpha = 3\% = 0,03$ Calculamos el nivel de confianza: $1 - \alpha = 1 - 0,03 = 0,97$ ($97\%$). Para construir el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0,97$. Esto implica buscar en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo un área de: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0,03}{2} = 1 - 0,015 = 0,985$$ Buscamos $0,985$ en el interior de la tabla de la normal y obtenemos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** El nivel de significación $\alpha$ representa la probabilidad de error. El nivel de confianza $1-\alpha$ es la probabilidad de acierto del intervalo.

Calculamos el error máximo admisible ($E$) mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 2,17 \cdot \frac{3,5}{\sqrt{121}} = 2,17 \cdot \frac{3,5}{11} = 2,17 \cdot 0,3182 \approx 0,6905$$ El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ viene dado por: $$IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ $$IC = (79,5 - 0,6905, 79,5 + 0,6905)$$ $$IC = (78,8095, 80,1905)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (78,81, 80,19)}$$

**b) Con la misma desviación típica del apartado anterior y con un nivel de confianza del 99%, ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea igual a un año?** En este apartado nos cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$. - Amplitud del intervalo: $A = 1$. Sabemos que la amplitud del intervalo de confianza es el doble del error ($A = 2E$). Por tanto, si la amplitud debe ser $1$ año, el error máximo permitido será: $$E = \frac{A}{2} = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ años}$$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0,01}{2} = 1 - 0,005 = 0,995$$ En la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor $0,995$ se encuentra entre $z = 2,57$ y $z = 2,58$. Tomamos el valor intermedio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,575}$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre que Amplitud = Cota superior - Cota inferior = $2 \cdot E$.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Elevando al cuadrado ambos miembros: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n = \left( \frac{2,575 \cdot 3,5}{0,5} \right)^2 = (18,025)^2 = 324,900625$$ En el cálculo de tamaños muestrales, siempre debemos redondear al siguiente número entero superior para garantizar que el error sea, como máximo, el solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 325 \text{ personas}}$$