Precio de un artículo perecedero

**a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo?** El precio inicial corresponde al momento en que empieza la venta, es decir, cuando el tiempo es $t = 0$. Para calcularlo, observamos en qué rama de la función se encuentra el valor $t = 0$. Según el enunciado, la primera rama está definida para $0 \le t \le 4$, por lo que sustituimos en ella: $$P(0) = \frac{0}{4} + 8 = 0 + 8 = 8$$ 💡 **Tip:** En una función definida a trozos, siempre debemos fijarnos en los símbolos de desigualdad ($\le, \lt, \dots$) para saber qué fórmula aplicar en cada punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El precio inicial es de 8 euros}}$$

**b) Dibujar la gráfica de $P(t)$ entre el día 1 y el 10.** Para dibujar la función, analizamos cada tramo por separado: 1. **Tramo 1 ($0 \le t \le 4$):** Es una función lineal (una recta). - Punto inicial: $P(0) = 8$. - Punto final: $P(4) = \frac{4}{4} + 8 = 1 + 8 = 9$. 2. **Tramo 2 ($4 \lt t \le 10$):** Es una función cuadrática (una parábola invertida ya que el coeficiente de $t^2$ es negativo). - Comprobamos la continuidad en el salto entre ramas ($t = 4$): $P(4) = -\frac{4^2}{4} + 2(4) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$. Como coincide con el final de la primera rama, la función es continua. - Vértice de la parábola: $t_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1/4)} = \frac{-2}{-1/2} = 4$. El vértice está justo en el inicio de este tramo. - Punto final: $P(10) = -\frac{10^2}{4} + 2(10) + 5 = -25 + 20 + 5 = 0$. 💡 **Tip:** Para representar parábolas, siempre es útil hallar el vértice y los puntos de corte o extremos del intervalo definido.

**c) ¿En qué periodo de tiempo aumenta el precio?** Para saber cuándo aumenta el precio, estudiamos el signo de la derivada $P'(t)$: $$P'(t) = \begin{cases} \frac{1}{4} & \text{si } 0 \lt t \lt 4 \\ -\frac{t}{2} + 2 & \text{si } 4 \lt t \lt 10 \end{cases}$$ Analizamos el signo en cada intervalo: - En $(0, 4)$, $P'(t) = 1/4$, que es siempre **positivo ($> 0$)**. Por tanto, la función crece. - En $(4, 10)$, resolvemos $P'(t) = 0 \implies -t/2 + 2 = 0 \implies t = 4$. Para cualquier valor $t \gt 4$, por ejemplo $t=6$: $P'(6) = -6/2 + 2 = -1$, que es **negativo ($< 0$)**. Por tanto, la función decrece. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|cc} t & (0, 4) & (4, 10) \\\hline P'(t) & + & - \\\hline P(t) & \nearrow & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El precio aumenta en el intervalo } [0, 4], \text{ es decir, los primeros 4 días}}$$

**d) ¿Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene?** Basándonos en el estudio de la monotonía del apartado anterior: - La función crece desde $t=0$ hasta $t=4$. - La función decrece desde $t=4$ hasta $t=10$. Esto significa que existe un **máximo absoluto** en el punto de cambio de crecimiento a decrecimiento, es decir, en $t = 4$. Calculamos el valor del precio en ese día: $$P(4) = 9$$ 💡 **Tip:** Si una función es continua y pasa de crecer a decrecer en un punto, ese punto es un máximo relativo. En este contexto de intervalo cerrado, también resulta ser el máximo absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El precio máximo es de 9 euros y se alcanza el día 4}}$$