Optimización de la dieta (Programación Lineal)

En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos hallar: $x$: Número de bolsas del producto $P_1$. $y$: Número de bolsas del producto $P_2$. El objetivo es minimizar el coste total de la compra. Según el enunciado, el precio de $P_1$ es 2,5 € y el de $P_2$ es 3,25 €. Por tanto, definimos la **función objetivo** como: $$f(x, y) = 2,5x + 3,25y$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, identifica siempre qué magnitudes puedes variar (variables) y qué quieres maximizar o minimizar (función objetivo).

Debemos cumplir con los mínimos nutricionales de los piensos A y B. Podemos organizar la información en una tabla: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & P_1 (x) & P_2 (y) & \text{Mínimo requerido} \\ \hline \text{Pienso A} & 4 & 5 & 30 \\ \hline \text{Pienso B} & 2 & 5 & 20 \\ \hline \text{Coste (€)} & 2,5 & 3,25 & \text{Minimizar} \\ \hline \end{array}$$ Esto nos da el siguiente sistema de inecuaciones: 1. Pienso A: $4x + 5y \ge 30$ 2. Pienso B: $2x + 5y \ge 20$ 3. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$ (ya que no se pueden comprar bolsas negativas). $$\boxed{\begin{cases} 4x + 5y \ge 30 \\ 2x + 5y \ge 20 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}}$$

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: - **Recta $r$ (Pienso A):** $4x + 5y = 30$ - Si $x=0 \implies 5y=30 \implies y=6 \implies (0, 6)$ - Si $y=0 \implies 4x=30 \implies x=7,5 \implies (7,5; 0)$ - **Recta $s$ (Pienso B):** $2x + 5y = 20$ - Si $x=0 \implies 5y=20 \implies y=4 \implies (0, 4)$ - Si $y=0 \implies 2x=20 \implies x=10 \implies (10, 0)$ Como las inecuaciones son de tipo "mayor o igual", la región factible es la zona no acotada situada por encima de ambas rectas en el primer cuadrante.

Los vértices de la región factible que pueden ser candidatos al mínimo son: - **Vértice A:** Intersección del eje $Y$ con la recta $r$ ($4x+5y=30$). Como vimos antes: **$A(0, 6)$**. - **Vértice C:** Intersección del eje $X$ con la recta $s$ ($2x+5y=20$). Como vimos antes: **$C(10, 0)$**. - **Vértice B:** Intersección de las rectas $r$ y $s$. Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} 4x + 5y = 30 \\ 2x + 5y = 20 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(4x - 2x) + (5y - 5y) = 30 - 20 \implies 2x = 10 \implies x = 5$$ Sustituimos $x = 5$ en la segunda ecuación: $$2(5) + 5y = 20 \implies 10 + 5y = 20 \implies 5y = 10 \implies y = 2$$ El vértice intermedio es **$B(5, 2)$**. 💡 **Tip:** Los puntos óptimos en programación lineal siempre se encuentran en los vértices (esquinas) de la región factible.

Evaluamos el coste $f(x, y) = 2,5x + 3,25y$ en cada uno de los vértices hallados: - Para **$A(0, 6)$**: $f(0, 6) = 2,5(0) + 3,25(6) = 19,5$ € - Para **$B(5, 2)$**: $f(5, 2) = 2,5(5) + 3,25(2) = 12,5 + 6,5 = 19,0$ € - Para **$C(10, 0)$**: $f(10, 0) = 2,5(10) + 3,25(0) = 25,0$ € El valor mínimo se obtiene para $x=5$ e $y=2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe comprar 5 bolsas de } P_1 \text{ y 2 bolsas de } P_2 \text{ para un coste mínimo de 19 €}}$$