Intervalos de confianza para la media y la proporción

**a) Si la desviación típica es de 1,1 horas, obtener un intervalo de confianza, al 98%, para la media del número de horas que estudian diariamente fuera del aula los estudiantes universitarios.** Primero, extraemos los datos del enunciado para la media poblacional: - Tamaño de la muestra: $n = 130$ - Media muestral: $\bar{x} = 3,4$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1,1$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: Como $1 - \alpha = 0,98$, entonces $\alpha = 0,02$ y $\alpha/2 = 0,01$. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,99$: $$z_{\alpha/2} \approx 2,33$$ 💡 **Tip:** El nivel de confianza indica la probabilidad de que el parámetro real esté dentro del intervalo. Un nivel del $98\%$ deja un $1\%$ fuera por cada lado (colas de la normal).

La fórmula del error máximo admisible para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2,33 \cdot \frac{1,1}{\sqrt{130}} = 2,33 \cdot \frac{1,1}{11,40175} \approx 2,33 \cdot 0,09648 = 0,2248$$ El intervalo de confianza se define como $I = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I = (3,4 - 0,2248; \, 3,4 + 0,2248)$$ $$I = (3,1752; \, 3,6248)$$ ✅ **Resultado (Intervalo para la media):** $$\boxed{(3,1752; \, 3,6248)}$$

**b) Obtener un intervalo de confianza, al 90%, para la proporción de mujeres entre los estudiantes universitarios.** Identificamos los datos para la proporción: - Tamaño de la muestra: $n = 130$ - Número de mujeres: $x = 85$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{85}{130} \approx 0,6538$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $90\%$: $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05$. Buscamos $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. En la tabla normal, para $0,95$, el valor es el promedio entre $1,64$ y $1,65$: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Para proporciones, el intervalo se centra en la proporción observada en la muestra $\hat{p}$.

La fórmula del error para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$$ Primero calculamos $1 - \hat{p}$: $$1 - 0,6538 = 0,3462$$ Ahora el error: $$E = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,6538 \cdot 0,3462}{130}} = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,22634556}{130}}$$ $$E = 1,645 \cdot \sqrt{0,001741} \approx 1,645 \cdot 0,041726 \approx 0,0686$$ El intervalo de confianza es $I = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I = (0,6538 - 0,0686; \, 0,6538 + 0,0686)$$ $$I = (0,5852; \, 0,7224)$$ ✅ **Resultado (Intervalo para la proporción):** $$\boxed{(0,5852; \, 0,7224)}$$