Contraste de hipótesis para la proporción de fumadores

**a) Con un nivel de significación del 10%, ¿Se acepta que el porcentaje de fumadores entre los universitarios es menor o igual que el 40%?** Primero, definimos las hipótesis del contraste sobre la proporción poblacional $p$ de estudiantes fumadores. Queremos comprobar si se mantiene la conclusión de que la proporción es, como máximo, del 40%. - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \le 0.40$ (Se mantiene la conclusión anterior). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \gt 0.40$ (La proporción ha aumentado). Se trata de un contraste unilateral a la derecha. 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele ser la afirmación de igualdad o el valor de referencia histórico, mientras que la alternativa ($H_1$) es lo que queremos investigar como cambio.

A partir de los datos de la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 78$ - Estudiantes fumadores: $x = 38$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{38}{78} \approx 0.4872$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.10$ Calculamos el estadístico de contraste $Z$, que sigue una distribución normal estándar $N(0,1)$ si $H_0$ es cierta: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores ($p_0 = 0.40$): $$Z = \frac{0.4872 - 0.40}{\sqrt{\frac{0.40 \cdot 0.60}{78}}} = \frac{0.0872}{\sqrt{\frac{0.24}{78}}} = \frac{0.0872}{0.0555} \approx 1.571$$ 💡 **Tip:** El denominador $\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}$ representa la desviación típica de la proporción muestral.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.10$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.10$. Mirando en las tablas de la normal estándar $N(0,1)$, para una probabilidad acumulada de $0.90$: $$z_{0.10} = 1.282$$ **Región de aceptación:** $Z \le 1.282$ **Región crítica (rechazo):** $Z \gt 1.282$ Como nuestro valor obtenido $Z = 1.571$ es mayor que $1.282$ ($1.571 \gt 1.282$), el estadístico cae en la zona de rechazo. Por lo tanto, **rechazamos $H_0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se acepta que el porcentaje sea menor o igual al 40% con un nivel de significación del 10%}}$$

**b) Se amplió la encuesta hasta 120 personas, y se obtuvo que 54 eran fumadores. Con un nivel de significación del 5%, ¿se tomaría la misma decisión que en el apartado anterior?** Planteamos los nuevos datos: - Nuevo tamaño de muestra: $n = 120$ - Nuevos fumadores: $x = 54$ - Nueva proporción muestral: $\hat{p} = \frac{54}{120} = 0.45$ - Nuevo nivel de significación: $\alpha = 0.05$ Calculamos el nuevo estadístico de contraste: $$Z = \frac{0.45 - 0.40}{\sqrt{\frac{0.40 \cdot 0.60}{120}}} = \frac{0.05}{\sqrt{\frac{0.24}{120}}} = \frac{0.05}{\sqrt{0.002}} = \frac{0.05}{0.0447} \approx 1.119$$ 💡 **Tip:** Al aumentar el tamaño de la muestra, el error estándar disminuye, lo que hace que el contraste sea más preciso.

Para $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{0.05}$ tal que $P(Z \gt z_{0.05}) = 0.05$. Consultando las tablas para una probabilidad acumulada de $0.95$: $$z_{0.05} = 1.645$$ **Región de aceptación:** $Z \le 1.645$ **Región crítica (rechazo):** $Z \gt 1.645$ En este caso, nuestro valor $Z = 1.119$ es menor que $1.645$ ($1.119 \lt 1.645$), por lo que el estadístico cae en la zona de aceptación. Por tanto, en esta nueva situación **aceptamos $H_0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se tomaría la misma decisión, ya que ahora sí se acepta que el porcentaje es menor o igual al 40%}}$$