Área entre parábolas y aplicación en contexto real

**a) ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar de blanco?** Para calcular el área encerrada entre dos funciones, lo primero que debemos hacer es hallar los puntos donde se cortan. Para ello, igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x)$$ $$-x^2 + 3x + 4 = 2x^2 - 3x + 4$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación: $$-x^2 - 2x^2 + 3x + 3x + 4 - 4 = 0$$ $$-3x^2 + 6x = 0$$ Factorizamos para resolver la ecuación de segundo grado: $$3x(-x + 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $3x = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $-x + 2 = 0 \implies x_2 = 2$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para calcular el área. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = 2}$$

Para plantear la integral correctamente, debemos saber qué función está por encima de la otra en el intervalo $(0, 2)$. Evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 1$: - $f(1) = -(1)^2 + 3(1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6$ - $g(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 4 = 2 - 3 + 4 = 3$ Como $f(1) \gt g(1)$, la función $f(x)$ es la "tapa" superior y $g(x)$ es la inferior en este recinto. 💡 **Tip:** El área siempre se calcula como la integral de la función superior menos la función inferior para que el resultado sea positivo. $$\boxed{f(x) \ge g(x) \text{ en } [0, 2]}$$

Planteamos la integral definida entre los límites hallados: $$A = \int_{0}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{2} [(-x^2 + 3x + 4) - (2x^2 - 3x + 4)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{2} (-3x^2 + 6x) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \int (-3x^2 + 6x) \, dx = -3\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} = -x^3 + 3x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = [ -x^3 + 3x^2 ]_{0}^{2} = (-2^3 + 3 \cdot 2^2) - (-0^3 + 3 \cdot 0^2)$$ $$A = (-8 + 12) - (0) = 4 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{4 \text{ m}^2}$$

**b) Si la pared tiene 23 metros de longitud y se quiere repetir esa figura dejando 5 metros entre figura y figura, ¿cuánto costaría pintar las figuras, si cada metro cuadrado de blanco cuesta 2 euros?** Primero analizamos el ancho de cada figura. Como los límites de $x$ son de $0$ a $2$, el ancho de cada figura es de **$2$ metros**. Sea $n$ el número de figuras. La disposición sería: figura - separación - figura - separación ... - figura. La longitud total ocupada por $n$ figuras y sus $(n-1)$ separaciones es: $$\text{Longitud} = n \cdot (\text{ancho figura}) + (n-1) \cdot (\text{separación})$$ $$23 = n \cdot 2 + (n-1) \cdot 5$$ Resolvemos para $n$: $$23 = 2n + 5n - 5$$ $$23 + 5 = 7n$$ $$28 = 7n \implies n = \frac{28}{7} = 4 \text{ figuras}$$ Caben exactamente **4 figuras**. 💡 **Tip:** Recuerda que si hay $n$ objetos, solo hay $n-1$ huecos entre ellos. $$\boxed{n = 4 \text{ figuras}}$$

Ahora calculamos el área total a pintar y su coste: 1. **Área total:** Si cada figura mide $4 \text{ m}^2$ y pintamos $4$ figuras: $$A_{total} = 4 \cdot 4 = 16 \text{ m}^2$$ 2. **Coste total:** Si cada metro cuadrado cuesta $2 \text{ €}$: $$\text{Coste} = 16 \text{ m}^2 \cdot 2 \text{ €/m}^2 = 32 \text{ €}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{32 \text{ euros}}$$