Optimización de la superficie de una portería

**a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero?** En primer lugar, debemos identificar las variables del problema basándonos en la geometría de una portería (que tiene forma rectangular con dos postes verticales y un larguero horizontal): - Sea $x$ la longitud del larguero (ancho de la portería en metros). - Sea $y$ la longitud de cada poste (altura de la portería en metros). Sabemos que disponemos de una barra de 10 metros para formar los dos postes y el larguero. Por tanto, la suma de estas longitudes debe ser 10: $$x + 2y = 10$$ Queremos maximizar la superficie interior ($S$), que es el área del rectángulo: $$S = x \cdot y$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos buscar una ecuación de ligadura (el perímetro o material disponible) para expresar la función objetivo en términos de una sola variable.

Despejamos la variable $x$ de la ecuación de la barra de hierro: $$x = 10 - 2y$$ Ahora, sustituimos esta expresión en la fórmula de la superficie: $$S(y) = (10 - 2y) \cdot y$$ $$S(y) = 10y - 2y^2$$ El dominio de nuestra función, dado que son longitudes físicas, debe ser $y \gt 0$ y $x \gt 0$ (lo que implica $10 - 2y \gt 0 \Rightarrow y \lt 5$). Por tanto, el intervalo de estudio es $y \in (0, 5)$. $$\boxed{S(y) = 10y - 2y^2}$$

Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada de la función superficie e igualamos a cero: $$S'(y) = 10 - 4y$$ Igualamos a cero para encontrar el punto crítico: $$10 - 4y = 0 \implies 4y = 10 \implies y = \frac{10}{4} = 2.5$$ El valor candidato a máximo es **$y = 2.5 \text{ m}$**. 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son los candidatos a máximos o mínimos relativos.

Debemos comprobar que en $y = 2.5$ existe realmente un máximo. Utilizaremos el criterio de la segunda derivada: $$S''(y) = -4$$ Como $S''(2.5) = -4 \lt 0$, confirmamos que en $y = 2.5$ la función alcanza un **máximo relativo**. También podemos observar el signo de la derivada en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} y & (0, 2.5) & 2.5 & (2.5, 5) \\ \hline S'(y) & + & 0 & - \\ \hline S(y) & \text{Creciente } (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente } (\searrow) \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es negativa, la función es cóncava hacia abajo, lo que garantiza que el punto crítico es un máximo.

Una vez hallada la altura de los postes ($y$), calculamos la longitud del larguero ($x$) sustituyendo en la ecuación del paso 2: $$x = 10 - 2(2.5) = 10 - 5 = 5 \text{ m}$$ Por tanto, las dimensiones que maximizan la superficie son: - **Postes:** $2.5 \text{ metros}$ cada uno. - **Larguero:** $5 \text{ metros}$. ✅ **Resultado (longitudes):** $$\boxed{\text{Postes: } 2.5 \text{ m, Larguero: } 5 \text{ m}}$$

**b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?** Para calcular la superficie máxima, simplemente multiplicamos las dimensiones obtenidas o sustituimos en la función $S(y)$: $$S_{\text{máx}} = x \cdot y = 5 \cdot 2.5 = 12.5 \text{ m}^2$$ O bien, usando la función: $$S(2.5) = 10(2.5) - 2(2.5)^2 = 25 - 2(6.25) = 25 - 12.5 = 12.5 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado (superficie):** $$\boxed{S_{\text{máx}} = 12.5 \text{ m}^2}$$