Problema de repartos y distancias recorridas

Para resolver este problema, primero debemos identificar las incógnitas. Llamaremos: - $x$: Kilómetros recorridos por **Juan**. - $y$: Kilómetros recorridos por **Pedro**. - $z$: Kilómetros recorridos por **Luis**. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones: 1. "Por cada kilómetro que recorre Juan, Pedro recorre 2": $$y = 2x$$ 2. "Luis recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro": $$z = \frac{3}{4}y$$ 3. "La suma de las distancias recorridas por los tres fue de 45 kilómetros": $$x + y + z = 45$$ 💡 **Tip:** En problemas de este tipo, es muy útil expresar todas las variables en función de una sola (en este caso, de $x$) para simplificar la resolución.

Vamos a expresar $y$ y $z$ únicamente en función de $x$ para sustituirlos en la ecuación de la suma total. Ya sabemos que: $$y = 2x$$ Sustituimos este valor de $y$ en la expresión de $z$: $$z = \frac{3}{4}(2x) = \frac{6}{4}x = \frac{3}{2}x$$ Ahora sustituimos ambos valores ($y$ y $z$) en la ecuación de la suma: $$x + 2x + \frac{3}{2}x = 45$$ 💡 **Tip:** Para trabajar más cómodamente y eliminar el denominador, podemos multiplicar toda la ecuación por $2$.

Multiplicamos cada término de la ecuación por $2$: $$2(x) + 2(2x) + 2\left(\frac{3}{2}x\right) = 2(45)$$ $$2x + 4x + 3x = 90$$ Sumamos los términos semejantes: $$9x = 90$$ Despejamos $x$: $$x = \frac{90}{9} = 10$$ Por lo tanto, **Juan recorrió 10 kilómetros**. $$\boxed{x = 10\text{ km}}$$

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos las distancias de los demás compañeros usando las relaciones del primer paso: - **Distancia de Pedro ($y$):** $$y = 2x = 2(10) = 20\text{ km}$$ - **Distancia de Luis ($z$):** $$z = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2}(10) = \frac{30}{2} = 15\text{ km}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Juan: 10 km, Pedro: 20 km, Luis: 15 km}}$$

Para asegurarnos de que la solución es correcta, verificamos que la suma de las tres distancias sea 45 kilómetros: $$10 + 20 + 15 = 45$$ Como $45 = 45$, la solución es válida y cumple con todas las condiciones del problema.