Distribución Binomial y aproximación a la Normal

**a) Si en una caja han pagado 120 clientes, ¿cuál es el número esperado de clientes que no han pagado con tarjeta?** Primero, definimos nuestra variable aleatoria. Sea $X$ el número de clientes que **no** pagan con tarjeta. Sabemos que el 35% paga con tarjeta ($p_{tarjeta} = 0,35$), por lo tanto, la probabilidad de que un cliente no pague con tarjeta es: $$p = 1 - 0,35 = 0,65$$ En una muestra de $n = 120$ clientes, la variable $X$ sigue una distribución binomial: $X \sim B(120, 0,65)$. El número esperado de clientes es la media o esperanza matemática de la distribución binomial, que se calcula como: $$\mu = E[X] = n \cdot p$$ Sustituimos los valores: $$E[X] = 120 \cdot 0,65 = 78$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una distribución binomial $B(n, p)$, la esperanza es $n \cdot p$ y representa el valor medio que esperaríamos obtener al repetir el experimento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{78 \text{ clientes}}$$

**b) Si en una caja han pagado 200 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pagado con tarjeta entre 60 y 85 clientes?** En este caso, definimos $X$ como el número de clientes que **pagan con tarjeta**. Tenemos $n = 200$ y $p = 0,35$. La distribución es $X \sim B(200, 0,35)$. Como $n$ es un número grande, comprobamos si podemos aproximar por una distribución Normal: 1. $n \cdot p = 200 \cdot 0,35 = 70 \ge 5$ 2. $n \cdot q = 200 \cdot 0,65 = 130 \ge 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos a una normal $Y \sim N(\mu, \sigma)$ donde: - $\mu = n \cdot p = 70$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0,35 \cdot 0,65} = \sqrt{45,5} \approx 6,75$ Por tanto, trabajaremos con $Y \sim N(70, 6,75)$. 💡 **Tip:** Siempre que $n$ sea grande ($np > 5$ y $nq > 5$), es mucho más sencillo usar la aproximación normal que la fórmula de la binomial.

Queremos hallar $p(60 \le X \le 85)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**: $$p(60 \le X \le 85) \approx p(59,5 \le Y \le 85,5)$$ Ahora tipificamos la variable usando $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$Z_1 = \frac{59,5 - 70}{6,75} = \frac{-10,5}{6,75} \approx -1,56$$ $$Z_2 = \frac{85,5 - 70}{6,75} = \frac{15,5}{6,75} \approx 2,30$$ La probabilidad queda: $$p(-1,56 \le Z \le 2,30) = p(Z \le 2,30) - p(Z \le -1,56)$$ Utilizando las propiedades de simetría de la normal: $$p(Z \le 2,30) - [1 - p(Z \le 1,56)]$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0,1)$: - $p(Z \le 2,30) = 0,9893$ - $p(Z \le 1,56) = 0,9406$ Operamos: $$0,9893 - (1 - 0,9406) = 0,9893 - 0,0594 = 0,9299$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0,9299}$$

**c) Si en una caja han pagado 400 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 260 no lo hayan hecho con tarjeta?** Definimos $X$ como el número de clientes que **no** pagan con tarjeta. $n = 400$ y $p = 0,65$. La distribución es $X \sim B(400, 0,65)$. Comprobamos la aproximación normal: - $\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0,65 = 260 \ge 5$ - $n \cdot q = 400 \cdot 0,35 = 140 \ge 5$ Calculamos la desviación típica: $$\sigma = \sqrt{400 \cdot 0,65 \cdot 0,35} = \sqrt{91} \approx 9,54$$ La distribución aproximada es $Y \sim N(260, 9,54)$. 💡 **Tip:** "Al menos 260" significa $X \ge 260$. Al aplicar la corrección de continuidad para el extremo inferior de un intervalo cerrado por la izquierda, restamos $0,5$.

Aplicamos la corrección de continuidad: $$p(X \ge 260) \approx p(Y \ge 259,5)$$ Tipificamos: $$Z = \frac{259,5 - 260}{9,54} = \frac{-0,5}{9,54} \approx -0,05$$ Calculamos la probabilidad: $$p(Z \ge -0,05) = p(Z \le 0,05)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$ para el valor $0,05$: $$p(Z \le 0,05) = 0,5199$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0,5199}$$