Distribución normal de la media muestral y estimación del tamaño de la muestra

**a) Si dicha media fuera de 170 centímetros, calcular la probabilidad de que la media muestral, de una muestra de 64 personas, difiera menos de un centímetro de la media de la población.** Primero definimos la variable aleatoria $X$ como la altura de la población: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(170, 10)$$ Cuando tomamos muestras de tamaño $n = 64$, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con la misma media $\mu$ y una desviación típica (error estándar) igual a $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{10}{\sqrt{64}} = \frac{10}{8} = 1.25$$ Por tanto, la media muestral se distribuye como: $$\bar{X} \sim N(170, \, 1.25)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias de muestras de tamaño $n$ es siempre $N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$.

Queremos calcular la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional menos de un centímetro, es decir: $P(|\bar{X} - 170| \lt 1)$. Esto equivale a: $$P(170 - 1 \lt \bar{X} \lt 170 + 1) = P(169 \lt \bar{X} \lt 171)$$ Tipificamos la variable para usar la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$P\left(\frac{169 - 170}{1.25} \lt Z \lt \frac{171 - 170}{1.25}\right) = P(-0.8 \lt Z \lt 0.8)$$ Operamos con las propiedades de la normal: $$P(-0.8 \lt Z \lt 0.8) = P(Z \lt 0.8) - P(Z \lt -0.8)$$ $$= P(Z \lt 0.8) - [1 - P(Z \lt 0.8)] = 2 \cdot P(Z \lt 0.8) - 1$$ Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor para $0.8$: $$P(Z \le 0.8) = 0.7881$$ Sustituimos: $$2 \cdot 0.7881 - 1 = 1.5762 - 1 = 0.5762$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(|\bar{X} - 170| \lt 1) = 0.5762}$$ 💡 **Tip:** El valor $P(Z \lt -a)$ se calcula como $1 - P(Z \lt a)$ debido a la simetría de la campana de Gauss.

**b) ¿Cuál es el tamaño muestral que se debe tomar para estimar la media de la altura de la población con un error menor de 2 centímetros y con un nivel de confianza del 95%.** La fórmula del error máximo admisible en la estimación de la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$. Mirando en las tablas: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ Datos del problema: $\sigma = 10$ y $E \lt 2$. Sustituimos en la fórmula para despejar $n$: $$1.96 \cdot \frac{10}{\sqrt{n}} \lt 2 \implies \frac{19.6}{\sqrt{n}} \lt 2$$ 💡 **Tip:** El error es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza.

Despejamos $n$ de la expresión anterior: $$\frac{19.6}{2} \lt \sqrt{n} \implies 9.8 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$n \gt 9.8^2 \implies n \gt 96.04$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor al máximo permitido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 97 \text{ personas}}$$ 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo (.04), siempre redondeamos hacia arriba en el tamaño muestral para garantizar que se cumple la restricción del error.

**c) Y si, en el apartado anterior, aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué tamaño muestral se necesitará?** Repetimos el proceso con el nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.9950$. En las tablas, este valor se encuentra entre $2.57$ y $2.58$, solemos usar: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ Sustituimos de nuevo en la fórmula del error con $E \lt 2$: $$2.575 \cdot \frac{10}{\sqrt{n}} \lt 2 \implies \frac{25.75}{\sqrt{n}} \lt 2$$ $$\frac{25.75}{2} \lt \sqrt{n} \implies 12.875 \lt \sqrt{n}$$ $$n \gt 12.875^2 \implies n \gt 165.7656$$ Redondeamos al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 166 \text{ personas}}$$ 💡 **Tip:** Observa que al aumentar la confianza exigida, el tamaño de la muestra necesario también aumenta considerablemente.