Contraste de hipótesis para la media

**a) Si se toma una muestra de 16 piezas y se obtiene una media de 5,12 cm., con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta la hipótesis del trabajador frente a la hipótesis de que la máquina estaba regulada para fabricar piezas de una longitud mayor?** Primero, extraemos los datos del enunciado para el apartado a): - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0,2$ cm. - Media que se quiere contrastar (hipótesis nula): $\mu_0 = 5$ cm. - Tamaño de la muestra: $n = 16$. - Media muestral obtenida: $\bar{x} = 5,12$ cm. - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$. Planteamos las hipótesis del contraste. Como el trabajador quiere comprobar si la longitud es mayor que la regulada, estamos ante un **contraste unilateral de una cola (derecha)**: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu = 5$ (La máquina está correctamente regulada). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu > 5$ (La máquina fabrica piezas de mayor longitud). 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) siempre contiene el signo de igualdad ($=$), mientras que la alternativa ($H_1$) indica la sospecha o el cambio que queremos probar ($>$, $\lt$ o $\neq$).

Para decidir si aceptamos $H_0$, calculamos el estadístico de contraste $Z_{exp}$ (o $Z_{calc}$), que sigue una distribución normal estándar $N(0,1)$ si $H_0$ es cierta: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{exp} = \frac{5,12 - 5}{0,2 / \sqrt{16}} = \frac{0,12}{0,2 / 4} = \frac{0,12}{0,05} = 2,4.$$ Ahora buscamos el **valor crítico** $Z_{\alpha}$ para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ en la tabla de la normal estándar. Como es un contraste unilateral derecho, buscamos el valor $z$ tal que $P(Z \le z) = 1 - \alpha = 0,95$: $$Z_{0,05} = 1,645.$$ 💡 **Tip:** El valor crítico delimita la zona de aceptación y la zona de rechazo. Para $\alpha = 0,05$ en una cola, el valor exacto suele tomarse como el punto medio entre $1,64$ y $1,65$.

Comparamos el estadístico experimental con el valor crítico: - Si $Z_{exp} \le Z_{\alpha}$, aceptamos $H_0$. - Si $Z_{exp} > Z_{\alpha}$, rechazamos $H_0$. En nuestro caso: $$2,4 > 1,645$$ Como el estadístico cae en la **zona de rechazo**, debemos rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se acepta la hipótesis del trabajador. Hay evidencia suficiente para afirmar que la longitud es mayor.}}$$

**b) Si la media muestral del apartado anterior se hubiese obtenido de una muestra de tamaño 36 y el nivel de significación fuera del 1%, ¿aceptaríamos la hipótesis del trabajador frente a la hipótesis de que la máquina está regulada para fabricar piezas de una longitud mayor?** Actualizamos los datos para este nuevo escenario: - Tamaño de la muestra: $n = 36$. - Nivel de significación: $\alpha = 0,01$. - Media muestral: $\bar{x} = 5,12$ cm (se mantiene). - $\sigma = 0,2$ y $\mu_0 = 5$ (se mantienen). Calculamos de nuevo el estadístico de contraste: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{5,12 - 5}{0,2 / \sqrt{36}} = \frac{0,12}{0,2 / 6} = \frac{0,12}{0,0333...} = 3,6.$$ Calculamos el nuevo valor crítico para $\alpha = 0,01$. Buscamos $z$ tal que $P(Z \le z) = 1 - 0,01 = 0,99$: Consultando las tablas de la normal, vemos que $Z_{0,01} = 2,33$ (aproximadamente). 💡 **Tip:** Al aumentar el tamaño de la muestra ($n$), el denominador se hace más pequeño y el valor de $Z$ aumenta, lo que hace más probable rechazar la hipótesis nula si la diferencia es real.

Comparamos de nuevo: $$Z_{exp} = 3,6 \quad \text{y} \quad Z_{\alpha} = 2,33$$ Dado que $3,6 > 2,33$, el valor experimental sigue cayendo en la zona de rechazo, incluso con un nivel de significación mucho más exigente (1%). Por tanto, volvemos a rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Tampoco aceptaríamos la hipótesis del trabajador; se rechaza con mayor fuerza aún.}}$$