Afluencia de clientes y recaudación

**a) ¿En que hora se produce la mayor afluencia de clientes?** Para encontrar la mayor afluencia de clientes, debemos maximizar la función $C(h) = -h^2 + 8h$, donde $h$ es el número de horas desde la apertura (9:00 AM). Calculamos la primera derivada para hallar los puntos críticos: $$C'(h) = -2h + 8$$ Igualamos a cero para encontrar el máximo: $$-2h + 8 = 0 \implies 2h = 8 \implies h = 4$$ Verificamos que es un máximo utilizando la segunda derivada: $$C''(h) = -2$$ Como $C''(4) = -2 \lt 0$, confirmamos que en $h = 4$ existe un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es negativa en un punto crítico, la función tiene un máximo local en ese punto. Calculamos la hora real sumando las 4 horas a la hora de apertura (9:00 AM): $$9:00 + 4\text{ horas} = 13:00$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A las 13:00 (a la 1 de la tarde)}}$$

**b) ¿Cuánto gasta el último cliente?** Primero debemos determinar cuándo cierra el comercio. El enunciado indica que cierra cuando se han marchado todos los clientes, es decir, cuando $C(h) = 0$. $$-h^2 + 8h = 0 \implies h(-h + 8) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: $h = 0$ (apertura) y $h = 8$ (cierre). El comercio cierra tras **8 horas** de actividad. El último cliente es aquel que está en el comercio justo en el momento del cierre ($h = 8$). Para calcular cuánto gasta, sustituimos $h = 8$ en la función de gasto $g(h) = 300 - 25h$: $$g(8) = 300 - 25(8)$$ $$g(8) = 300 - 200 = 100$$ 💡 **Tip:** No confundas el número de clientes $C(h)$ con el gasto por cliente $g(h)$. El enunciado pide el gasto individual en el momento final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{100 \text{ unidades monetarias}}$$

**c) ¿Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora?** La recaudación total $R(h)$ se obtiene multiplicando el número de clientes por el gasto de cada uno: $R(h) = C(h) \cdot g(h)$. Calculamos la recaudación para $h = 4$ (cuarta hora): 1. Clientes: $C(4) = -(4)^2 + 8(4) = -16 + 32 = 16$ 2. Gasto por cliente: $g(4) = 300 - 25(4) = 300 - 100 = 200$ 3. Recaudación: $R(4) = 16 \cdot 200 = 3200$ Calculamos la recaudación para $h = 5$ (quinta hora): 1. Clientes: $C(5) = -(5)^2 + 8(5) = -25 + 40 = 15$ 2. Gasto por cliente: $g(5) = 300 - 25(5) = 300 - 125 = 175$ 3. Recaudación: $R(5) = 15 \cdot 175 = 2625$ Comparando ambos resultados: $3200 \gt 2625$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización de ingresos, la función de ingresos suele ser el producto de la cantidad por el precio (o gasto unitario). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay mayor recaudación en la cuarta hora (3200 vs 2625)}}$$