Optimización de beneficios en mezclas de café

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar qué queremos calcular. Llamaremos: * $x$: número de paquetes de mezcla **tipo A**. * $y$: número de paquetes de mezcla **tipo B**. Como cada paquete es de 1 kilo, el número de paquetes coincide con los kilos totales de cada mezcla. Organizamos la información en una tabla para verter las restricciones: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Componentes} & \text{Mezcla A } (x) & \text{Mezcla B } (y) & \text{Disponibilidad}\\ \hline \text{Café Natural (kg)} & 0.5 & 0.25 & 700 \\ \hline \text{Café Torrefacto (kg)} & 0.5 & 0.75 & 800 \\ \hline \text{Ganancia (€)} & 1 & 2 & \text{Maximizar} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Definir correctamente las variables es el paso más importante. Fíjate en la pregunta: "Determinar los paquetes de cada tipo". Eso nos indica qué son $x$ e $y$.

A partir de la tabla anterior, definimos la **función objetivo** (lo que queremos maximizar) y las **restricciones** (limitaciones de materiales). **Función Objetivo (Ganancia):** $$G(x, y) = 1x + 2y$$ **Restricciones:** 1. **Café Natural:** $0.5x + 0.25y \le 700$ 2. **Café Torrefacto:** $0.5x + 0.75y \le 800$ 3. **No negatividad:** Como no podemos fabricar paquetes negativos, $x \ge 0$ e $y \ge 0$. Para facilitar el dibujo de las rectas, podemos multiplicar las desigualdades para eliminar decimales: * $2x + y \le 2800$ (multiplicando por 4) * $2x + 3y \le 3200$ (multiplicando por 4) 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones multiplicando por un número (en este caso 4) te ayudará a trabajar con números enteros más cómodos al dibujar las rectas.

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región de soluciones posibles (región factible). * **Recta $r_1$ ($2x + y = 2800$):** Pasa por $(0, 2800)$ y $(1400, 0)$. * **Recta $r_2$ ($2x + 3y = 3200$):** Pasa por $(0, 1066.67)$ y $(1600, 0)$. El punto de intersección entre $r_1$ y $r_2$ se halla resolviendo el sistema: $$\begin{cases} 2x + y = 2800 \\ 2x + 3y = 3200 \end{cases}$$ Restando la segunda menos la primera: $2y = 400 \implies y = 200$. Sustituyendo en la primera: $2x + 200 = 2800 \implies 2x = 2600 \implies x = 1300$. Interactivo de la región factible:

Los vértices de nuestra región factible (zona sombreada) son los puntos donde la ganancia puede ser máxima: 1. **Origen:** $O(0, 0)$ 2. **Corte con eje X:** $A(1400, 0)$ (Viene de la restricción de café natural) 3. **Intersección:** $B(1300, 200)$ 4. **Corte con eje Y:** $C(0, 1066.67)$ (Viene de la restricción de café torrefacto: $3y = 3200 \implies y = 3200/3$) Evaluamos la función $G(x, y) = x + 2y$ en cada vértice: * $G(0, 0) = 0 + 2(0) = 0\,€$ * $G(1400, 0) = 1400 + 2(0) = 1400\,€$ * $G(1300, 200) = 1300 + 2(200) = 1300 + 400 = 1700\,€$ * $G(0, 3200/3) = 0 + 2(3200/3) = 6400/3 \approx 2133.33\,€$ 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal dice que el máximo siempre estará en un vértice de la región factible.

Al comparar los beneficios obtenidos en todos los vértices, observamos que el mayor valor es **$2133.33\,€$**, que se alcanza fabricando únicamente paquetes del tipo B. Como el enunciado nos pide determinar los paquetes de cada tipo: * Paquetes de tipo A: **0** * Paquetes de tipo B: **$1066.67$** (o exactamente $3200/3$) En un contexto real de tienda, si solo se permiten paquetes completos, se prepararían **1066 paquetes del tipo B**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben preparar 0 paquetes de tipo A y } 1066.67 \text{ paquetes de tipo B.}}$$