Inferencia estadística: tamaño muestral e intervalos de confianza

**a) Si se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0,01 segundos, con un nivel de confianza del 99 %, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción?** Primero, identificamos la variable $X$ como el tiempo de reacción del conductor, que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 0.05)$$ Para un nivel de confianza del $99\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$ 2. $\alpha/2 = 0.005$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.9950$. Consultando la tabla de la normal $N(0, 1)$, vemos que el valor $0.9950$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$. Tomamos el punto medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca la distancia en desviaciones típicas necesaria para cubrir el porcentaje de confianza central.

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \le 0.01$. Despejamos $n$ de la desigualdad: $$\sqrt{n} \ge \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n \ge \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n \ge \left( \frac{2.575 \cdot 0.05}{0.01} \right)^2$$ $$n \ge (2.575 \cdot 5)^2$$ $$n \ge (12.875)^2 \approx 165.76$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y superior al calculado para garantizar que el error sea menor, redondeamos al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 166}$$

**b) Se toma una muestra de 100 tiempos de reacción y se obtiene una media muestral igual a 0,03 segundos. Determinar el correspondiente intervalo de confianza cuyo nivel de confianza es igual a 0,96.** Datos del apartado: - Tamaño de muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 0.03$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.05$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04$ 2. $\alpha/2 = 0.02$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.9800$. En la tabla de la normal, el valor más cercano a $0.9800$ es $2.05$ (que corresponde a $0.9798$): $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.05}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, se toma el más cercano o se realiza una interpolación lineal.

La estructura de un intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Primero calculamos el error $E$: $$E = 2.05 \cdot \frac{0.05}{\sqrt{100}} = 2.05 \cdot \frac{0.05}{10} = 2.05 \cdot 0.005 = 0.01025$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.03 - 0.01025 = 0.01975$ - Límite superior: $0.03 + 0.01025 = 0.04025$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.01975, 0.04025)}$$