Contraste de hipótesis para la proporción

**a) ¿Se puede aceptar la hipótesis de trabajo con un nivel de significación del 10%?** Primero, identificamos los datos del problema y definimos las hipótesis del contraste. Se trata de un contraste sobre la proporción poblacional $p$. - Proporción hipotética (hipótesis de trabajo): $p_0 = 0,78$. - Tamaño de la muestra: $n = 1024$. - Casos favorables en la muestra: $x = 776$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{776}{1024} = 0,7578$. Definimos las hipótesis. Como la hipótesis es que "al menos" es el 78%, estamos ante un contraste unilateral izquierdo: - Hipótesis nula ($H_0$): $p \ge 0,78$ (La hipótesis de trabajo se acepta si los datos no la contradicen significativamente por debajo). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \lt 0,78$. Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z$ utilizando la fórmula: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot (1 - p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0,7578 - 0,78}{\sqrt{\frac{0,78 \cdot 0,22}{1024}}} = \frac{-0,0222}{\sqrt{0,000167578}} = \frac{-0,0222}{0,012945} \approx -1,715$$ 💡 **Tip:** Para realizar contrastes de proporciones con muestras grandes ($n > 30$), aproximamos la distribución de la proporción muestral a una Normal $N(0,1)$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,10$, buscamos el valor crítico en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$. Como es un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,10$. En las tablas, buscamos el valor para $0,90$ (que es $1 - 0,10$), obteniendo $z_{0,10} = 1,28$. Por tanto, el valor crítico es: $$z_c = -1,28$$ **Región de aceptación:** $( -1,28, +\infty )$ **Región de rechazo (crítica):** $( -\infty, -1,28 ]$ Comparamos nuestro estadístico $Z \approx -1,715$ con el valor crítico: $$-1,715 \lt -1,28$$ Como el valor obtenido cae dentro de la **región de rechazo**, no podemos aceptar la hipótesis nula. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la hipótesis con un nivel de significación del 10%}}$$

**b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera igual a 0,01?** Repetimos el proceso de decisión para un nivel de significación $\alpha = 0,01$. Buscamos el nuevo valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,01$. Buscamos en la tabla de la normal el valor correspondiente a una probabilidad de $0,99$: $$z_{0,01} = 2,326 \approx 2,33$$ El nuevo valor crítico es $z_c = -2,33$. **Región de aceptación:** $( -2,33, +\infty )$ **Región de rechazo:** $( -\infty, -2,33 ]$ Comparamos nuestro estadístico calculado anteriormente ($Z \approx -1,715$) con este nuevo límite: $$-1,715 \gt -2,33$$ En este caso, el valor del estadístico **cae dentro de la región de aceptación**. Por tanto, con un nivel de exigencia mayor (un margen de error menor), no hay pruebas suficientes para rechazar la hipótesis de los responsables. 💡 **Tip:** Cuanto más pequeño es el nivel de significación $\alpha$, más difícil es rechazar la hipótesis nula, ya que la región de rechazo se hace más pequeña. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{No se concluiría lo mismo; con } \alpha = 0,01 \text{ sí se aceptaría la hipótesis}}$$