Evolución del entrenamiento de flexiones

**a) ¿Es $f(x)$ una función creciente? ¿Por qué?** Para determinar si la función es creciente, debemos calcular su primera derivada $f'(x)$ y estudiar su signo. Dado que $x$ representa el número de días de entrenamiento, consideraremos $x \ge 0$. La función es un cociente de la forma $\frac{u}{v}$, por lo que aplicamos la regla de derivación: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^2}$$ Identificamos los términos: - $u = 36x + 8 \implies u' = 36$ - $v = x + 2 \implies v' = 1$ Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = \frac{36 \cdot (x + 2) - (36x + 8) \cdot 1}{(x + 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{36x + 72 - 36x - 8}{(x + 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{64}{(x + 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función es creciente en un intervalo si su derivada es positiva ($f'(x) \gt 0$) en dicho intervalo.

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{64}{(x + 2)^2}$ para $x \ge 0$: 1. El numerador es $64$, que es siempre positivo ($64 \gt 0$). 2. El denominador es $(x + 2)^2$. Al ser un cuadrado, siempre es positivo para cualquier valor de $x$ en el dominio (en este caso, $x \ge 0$). Como el cociente de dos números positivos es siempre positivo, tenemos que: $$f'(x) \gt 0 \text{ para todo } x \ge 0$$ Esto significa que la función es **estrictamente creciente** en todo su dominio de aplicación. $$\begin{array}{c|c} x & [0, +\infty) \\\hline f'(x) & + \\\hline f(x) & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, } f(x) \text{ es creciente porque su derivada } f'(x) = \frac{64}{(x+2)^2} \text{ es siempre positiva para } x \ge 0.}$$

**b) ¿Cuántos días de entrenamiento son necesarios para hacer 28 flexiones por minuto?** Nos piden hallar el valor de $x$ para el cual el número de flexiones $f(x)$ es igual a $28$. Planteamos la ecuación: $$28 = \frac{36x + 8}{x + 2}$$ Para resolverla, pasamos el denominador multiplicando al otro lado: $$28(x + 2) = 36x + 8$$ Desarrollamos el paréntesis: $$28x + 56 = 36x + 8$$ Agrupamos los términos con $x$ en un lado y los números en el otro: $$56 - 8 = 36x - 28x$$ $$48 = 8x$$ Despejamos $x$: $$x = \frac{48}{8} = 6$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que el resultado tenga sentido en el contexto del problema (en este caso, un número positivo de días). ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 6 \text{ días}}$$

**c) ¿Hacia qué valor se aproxima el número de flexiones cuando crece el número de días de entrenamiento?** Esta pregunta nos pide calcular el límite de la función cuando el número de días $x$ tiende a infinito ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{36x + 8}{x + 2}$$ Estamos ante una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Al ser un límite de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 1), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{36x + 8}{x + 2} = \frac{36}{1} = 36$$ Esto indica que la función tiene una asíntota horizontal en $y = 36$. 💡 **Tip:** Si los grados del numerador y denominador son iguales, el límite al infinito es simplemente el cociente de los coeficientes de la mayor potencia de $x$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El número de flexiones se aproxima a } 36 \text{ por minuto.}}$$