Optimización del área de una hoja de papel

Para resolver este problema de optimización, primero debemos definir las dimensiones de la zona impresa y de la hoja completa. Llamamos: - $x$: ancho de la zona de texto impreso (en cm). - $y$: alto de la zona de texto impreso (en cm). El enunciado nos indica que el área del texto debe ser de $18\text{ cm}^2$, por lo tanto: $$x \cdot y = 18 \implies y = \frac{18}{x}$$ Ahora, definimos las dimensiones totales de la hoja considerando los márgenes: - El ancho total de la hoja será: $W = x + 1 + 1 = x + 2$. - El alto total de la hoja será: $H = y + 2 + 2 = y + 4$. 💡 **Tip:** Es fundamental dibujar un esquema del problema para visualizar cómo los márgenes se suman a las dimensiones del texto. Recuerda que hay dos márgenes laterales (uno a cada lado) y dos márgenes (superior e inferior).

El gasto de papel será mínimo cuando el área total de la hoja sea mínima. La función área $A$ de la hoja depende de $x$ e $y$: $$A = W \cdot H = (x + 2)(y + 4)$$ Para poder derivar, necesitamos que la función dependa de una sola variable. Sustituimos $y = \dfrac{18}{x}$ en la expresión anterior: $$A(x) = (x + 2)\left(\frac{18}{x} + 4\right)$$ Operamos para simplificar la función: $$A(x) = x \cdot \frac{18}{x} + 4x + \frac{36}{x} + 8$$ $$A(x) = 18 + 4x + \frac{36}{x} + 8$$ $$A(x) = 26 + 4x + \frac{36}{x}$$ El dominio de esta función es $x \gt 0$, ya que las dimensiones deben ser positivas. ✅ **Función a minimizar:** $$\boxed{A(x) = 4x + 26 + \frac{36}{x}}$$

Para encontrar el mínimo, calculamos la derivada de la función área e igualamos a cero: $$A'(x) = 4 - \frac{36}{x^2}$$ Igualamos a cero: $$4 - \frac{36}{x^2} = 0 \implies 4 = \frac{36}{x^2} \implies 4x^2 = 36$$ $$x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$ Como $x$ representa una longitud, descartamos la solución negativa. Por tanto, el punto crítico es: $$x = 3 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante es 0 y la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$.

Para confirmar que en $x = 3$ existe un mínimo relativo, utilizamos el criterio de la segunda derivada. Calculamos $A''(x)$: $$A'(x) = 4 - 36x^{-2} \implies A''(x) = 0 - 36(-2)x^{-3} = \frac{72}{x^3}$$ Evaluamos en el punto crítico $x = 3$: $$A''(3) = \frac{72}{3^3} = \frac{72}{27} \gt 0$$ Como la segunda derivada es positiva ($A''(3) \gt 0$), la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 3$. También podemos ver el comportamiento del signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline A'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Esto confirma que la función decrece antes de $x=3$ y crece después, garantizando el mínimo.

Una vez hallado el valor de $x$ que minimiza el área, calculamos las dimensiones de la hoja. Primero hallamos el alto del texto $y$: $$y = \frac{18}{3} = 6 \text{ cm}$$ Ahora calculamos las dimensiones totales de la hoja ($W$ y $H$): - Ancho total: $W = x + 2 = 3 + 2 = 5 \text{ cm}$. - Alto total: $H = y + 4 = 6 + 4 = 10 \text{ cm}$. El gasto de papel mínimo se produce con una hoja de $5 \times 10$ cm, resultando en un área total de $50 \text{ cm}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Ancho: } 5 \text{ cm}, \quad \text{Alto: } 10 \text{ cm}}$$