Problema de sistemas de ecuaciones: Fábrica de juguetes

**a) ¿Cuántos coches, bicicletas y triciclos se fabricarán?** Primero, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos hallar: - $x$: número de coches fabricados. - $y$: número de bicicletas fabricadas. - $z$: número de triciclos fabricados. Ahora, traducimos la información del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El total de juguetes es 280: $$x + y + z = 280$$ 2. El total de ruedas es 945. Sabemos que un coche tiene 4 ruedas, una bicicleta 2 y un triciclo 3: $$4x + 2y + 3z = 945$$ 3. Se van a producir 10 bicicletas menos que triciclos: $$y = z - 10 \implies -y + z = 10$$ 💡 **Tip:** Es fundamental definir correctamente las variables y sus unidades antes de plantear las ecuaciones para evitar errores de interpretación.

Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 280 & \text{(1)} \\ 4x + 2y + 3z = 945 & \text{(2)} \\ -y + z = 10 & \text{(3)} \end{cases}$$ Utilizaremos el método de sustitución. De la ecuación (3), despejamos $z$: $$z = y + 10$$ Sustituimos este valor de $z$ en la ecuación (1): $$x + y + (y + 10) = 280 \implies x + 2y = 270 \implies x = 270 - 2y$$ Ahora sustituimos $x$ y $z$ en la ecuación (2) para que todo quede en función de $y$: $$4(270 - 2y) + 2y + 3(y + 10) = 945$$ $$1080 - 8y + 2y + 3y + 30 = 945$$ $$-3y + 1110 = 945$$ $$-3y = 945 - 1110$$ $$-3y = -165 \implies y = \frac{-165}{-3} = 55$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas, elige siempre la ecuación más sencilla para despejar y sustituir en las demás.

Una vez hallado el valor de $y$, calculamos el resto de variables utilizando las expresiones obtenidas anteriormente: Para $z$: $$z = y + 10 = 55 + 10 = 65$$ Para $x$: $$x = 270 - 2y = 270 - 2(55) = 270 - 110 = 160$$ Comprobamos que la suma total es correcta: $160 + 55 + 65 = 280$ juguetes. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{160 \text{ coches, } 55 \text{ bicicletas y } 65 \text{ triciclos}}$$

**b) Si las bicicletas se venden a 65€, los triciclos a 75€ y los coches a 90€, ¿cuál es el valor total de los juguetes producidos?** Para calcular el valor total ($V$), multiplicamos la cantidad de cada juguete por su precio unitario correspondiente: - Valor de los coches: $160 \text{ unidades} \cdot 90 \text{ €/unidad} = 14400\text{ €}$ - Valor de las bicicletas: $55 \text{ unidades} \cdot 65 \text{ €/unidad} = 3575\text{ €}$ - Valor de los triciclos: $65 \text{ unidades} \cdot 75 \text{ €/unidad} = 4875\text{ €}$ Sumamos todas las cantidades: $$V = 14400 + 3575 + 4875 = 22850\text{ €}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{El valor total es de } 22850\text{ €}}$$