Inferencia: Contraste de hipótesis e Intervalos de confianza

**a) ¿Se puede aceptar la hipótesis de que la edad media de los empleados es de 40 años, frente a que la edad media es mayor de 40 años, con un nivel de significación del 5 %?** Primero, extraemos los datos del enunciado para la población y la muestra: - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 40$ - Varianza poblacional: $\sigma^2 = 25 \implies$ Desviación típica: $\sigma = \sqrt{25} = 5$ - Tamaño de la muestra: $n = 36$ - Media muestral observada: $\bar{x} = 41,3$ - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$ Planteamos el contraste de hipótesis unilateral (por la derecha): - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu = 40$ (La edad media es de 40 años) - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \gt 40$ (La edad media es superior a 40 años) 💡 **Tip:** Un contraste es unilateral cuando la alternativa indica una dirección específica (mayor que o menor que).

Para decidir si aceptamos $H_0$, calculamos cuánto se aleja nuestra media muestral de la media teórica en términos de unidades de desviación típica (tipificación). Usamos el estadístico de contraste: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{obs} = \frac{41,3 - 40}{5 / \sqrt{36}} = \frac{1,3}{5 / 6} = \frac{1,3}{0,8333} = 1,56$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica de la media muestral es $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Aquí, $\frac{5}{6} \approx 0,8333$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \gt z_{\alpha}) = 0,05 \implies P(Z \le z_{\alpha}) = 0,95$$ Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,95$, el valor es aproximadamente: $$z_{\alpha} = 1,645$$ **Comparamos:** Como $Z_{obs} = 1,56$ y $z_{\alpha} = 1,645$, observamos que $Z_{obs} \lt z_{\alpha}$. Esto significa que el valor muestral cae dentro de la **región de aceptación**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta la hipótesis } H_0: \text{ la edad media es de 40 años.}}$$

**b) Construir un intervalo de confianza para la media de edad, con un nivel de confianza del 80%.** Para el intervalo de confianza de la media, la fórmula es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $80\%$ ($1 - \alpha = 0,80$): - $\alpha = 0,20 \implies \alpha/2 = 0,10$ - Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,10 = 0,90$ En las tablas de la normal $N(0,1)$: $$P(Z \le 1,28) \approx 0,8997$$ Por tanto, tomamos $z_{\alpha/2} = 1,28$. 💡 **Tip:** El nivel de confianza es el área central. Para un $80\%$, dejamos un $10\%$ en cada extremo.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,28 \cdot \frac{5}{\sqrt{36}} = 1,28 \cdot \frac{5}{6} = 1,28 \cdot 0,8333 = 1,0666...$$ Redondeando a dos decimales, $E \approx 1,07$. Ahora calculamos los extremos del intervalo con $\bar{x} = 41,3$: - Límite inferior: $41,3 - 1,07 = 40,23$ - Límite superior: $41,3 + 1,07 = 42,37$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{80\%} = (40,23; 42,37)}$$