Distribución Binomial, Normal e Inferencia

**a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres a las que se les retrasó el parto?** Primero, definimos los parámetros del problema: - Total de mujeres (n): $n = 125$. - Probabilidad de parto adelantado ($p$): $p = 40\% = 0.4$. - Probabilidad de parto retrasado ($q$): $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$. Llamamos $X$ a la variable aleatoria que cuenta el número de mujeres con el parto retrasado. Esta variable sigue una **distribución Binomial**: $X \sim B(125, 0.6)$. El número esperado (esperanza matemática) se calcula con la fórmula: $$E[X] = n \cdot q$$ $$E[X] = 125 \cdot 0.6 = 75.$$ 💡 **Tip:** El número esperado en una distribución binomial es simplemente la media de la distribución, dada por $\mu = n \cdot p$ (o $n \cdot q$ según lo que estemos contando). ✅ **Resultado:** $$\boxed{75 \text{ mujeres}}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 45 y 60 mujeres se les haya adelantado el parto?** Ahora definimos $Y$ como el número de mujeres con parto adelantado: $Y \sim B(125, 0.4)$. Para calcular probabilidades en una Binomial con $n$ grande, comprobamos si podemos aproximar a una **Normal**: 1. $n \cdot p = 125 \cdot 0.4 = 50 > 5$ 2. $n \cdot q = 125 \cdot 0.6 = 75 > 5$ Como se cumplen las condiciones, aproximamos $Y$ por una variable normal $Y' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 50$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{125 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{30} \approx 5.477$ Por tanto, $Y' \sim N(50, 5.477)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**: $P(a \le Y \le b) \approx P(a - 0.5 \le Y' \le b + 0.5)$.

Queremos hallar $P(45 \le Y \le 60)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(44.5 \le Y' \le 60.5)$$ Tipificamos la variable usando $Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma}$: $$P\left( \frac{44.5 - 50}{5.477} \le Z \le \frac{60.5 - 50}{5.477} \right)$$ $$P(-1.004 \le Z \le 1.917)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla $N(0, 1)$: $$P(-1.00 \le Z \le 1.92) = P(Z \le 1.92) - P(Z \le -1.00)$$ $$P(Z \le 1.92) - [1 - P(Z \le 1.00)]$$ Buscamos en la tabla: - $P(Z \le 1.92) = 0.9726$ - $P(Z \le 1.00) = 0.8413$ $$0.9726 - (1 - 0.8413) = 0.9726 - 0.1587 = 0.8139$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(45 \le Y \le 60) \approx 0.8139}$$ (Un **81.39%** de probabilidad).

**c) Si hubiese habido 61 partos adelantados y si el nivel de significación fuera igual a 0.02, ¿esto haría rechazar la hipótesis de que el 40% de las mujeres dan a luz antes de la fecha prevista?** Planteamos el contraste de hipótesis sobre la proporción $p$: - $H_0: p = 0.40$ (Hipótesis nula) - $H_1: p \neq 0.40$ (Hipótesis alternativa) Datos de la muestra: - $n = 125$ - Partos observados: $x = 61$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{61}{125} = 0.488$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.02$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un contraste bilateral: Si $\alpha = 0.02$, entonces $1 - \alpha/2 = 0.99$. Buscando en la tabla $N(0, 1)$, $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99 \implies z_{\alpha/2} = 2.33$. La región de aceptación es el intervalo $(-2.33, 2.33)$ para el estadístico de contraste. 💡 **Tip:** En un contraste de proporción, el estadístico de contraste es $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}}$.

Calculamos el estadístico de contraste $Z$: $$Z = \frac{0.488 - 0.40}{\sqrt{\frac{0.40 \cdot 0.60}{125}}} = \frac{0.088}{\sqrt{0.00192}} = \frac{0.088}{0.0438} \approx 2.01$$ Comparamos el valor obtenido con el valor crítico: $$|Z_{obs}| = 2.01 \lt z_{\alpha/2} = 2.33$$ Como $2.01$ se encuentra dentro del intervalo de aceptación $(-2.33, 2.33)$, **no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula**. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No se rechaza la hipótesis de que el 40\% dan a luz antes de la fecha prevista.}}$$