Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Construir un intervalo de confianza para la media, con un nivel de confianza del 95%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 145$ - Media muestral: $\bar{x} = 84$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 14$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 2. $\alpha/2 = 0.025$ 3. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: - Para $90\% \implies z_{\alpha/2} = 1.645$ - Para $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ - Para $99\% \implies z_{\alpha/2} = 2.575$

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{14}{\sqrt{145}}$$ $$E = 1.96 \cdot \frac{14}{12.0416} \approx 1.96 \cdot 1.1626 = 2.2787$$ Ahora restamos y sumamos este error a la media muestral: - Límite inferior: $84 - 2.2787 = 81.7213$ - Límite superior: $84 + 2.2787 = 86.2787$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (81.72, 86.28)}$$

**b) Con un nivel de confianza del 95%, ¿qué tamaño muestral deberíamos tomar si se quiere estimar la media con error menor que 2 puntos?** En este apartado, nos piden hallar $n$ sabiendo que: - Nivel de confianza: $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ - Desviación típica: $\sigma = 14$ - Error máximo: $E \lt 2$ La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para disminuir el error de una estimación, debemos aumentar el tamaño de la muestra ($n$).

Sustituimos los valores conocidos en la inecuación y despejamos $n$: $$1.96 \cdot \frac{14}{\sqrt{n}} \lt 2$$ Multiplicamos en cruz para despejar la raíz: $$\frac{1.96 \cdot 14}{2} \lt \sqrt{n}$$ $$\frac{27.44}{2} \lt \sqrt{n}$$ $$13.72 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$(13.72)^2 \lt n$$ $$188.2384 \lt n$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y debe ser estrictamente mayor que $188.2384$ para que el error sea **menor** que 2, tomamos el siguiente número entero. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 189 \text{ alumnos}}$$