Optimización de la producción y análisis de precios

**a) ¿Con que número de trabajadores se alcanza la producción máxima?** La producción viene dada por la función cuadrática $p(x) = 800x - 5x^2$ en el dominio $0 \le x \le 120$. Para encontrar el máximo, calculamos la primera derivada e igualamos a cero: $$p'(x) = 800 - 10x$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$800 - 10x = 0 \implies 10x = 800 \implies x = \frac{800}{10} = 80.$$ Como $x=80$ está dentro del intervalo $[0, 120]$, es un candidato a máximo. 💡 **Tip:** En una función cuadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, si $a < 0$, el vértice es un máximo absoluto.

Para confirmar que en $x = 80$ hay un máximo, estudiamos el signo de la primera derivada o usamos la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada: $$p''(x) = -10$$ Como $p''(80) = -10 \lt 0$, confirmamos que existe un **máximo relativo** en $x = 80$. También podemos ver el crecimiento en una tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 80) & 80 & (80, 120)\\ \hline p'(x) & + & 0 & -\\ \hline p(x) & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array} $$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se alcanza la producción máxima con 80 trabajadores}}$$

**b) Si hay 50 trabajadores, ¿cuál es el precio de venta de cada unidad producida?** Primero, calculamos la producción $p$ para $x = 50$ trabajadores: $$p(50) = 800(50) - 5(50)^2 = 40000 - 5(2500) = 40000 - 12500 = 27500 \text{ unidades.}$$ Ahora, sustituimos este valor de producción en la función del precio $h(p)$: $$h(27500) = 400 - \frac{27500}{100} = 400 - 275 = 125.$$ 💡 **Tip:** Fíjate que el precio depende de la producción, y la producción del número de trabajadores. Es una función compuesta $h(p(x))$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El precio de venta es de 125 unidades monetarias}}$$

**c) Que número de trabajadores es necesario para que el precio de venta de cada unidad sea 205.** Buscamos $x$ tal que $h(p) = 205$. Primero hallamos la producción $p$ necesaria: $$205 = 400 - \frac{p}{100} \implies \frac{p}{100} = 400 - 205 \implies \frac{p}{100} = 195$$ $$p = 195 \cdot 100 = 19500 \text{ unidades.}$$ Ahora resolvemos la ecuación $p(x) = 19500$: $$800x - 5x^2 = 19500 \implies 5x^2 - 800x + 19500 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre $5$ para simplificar: $$x^2 - 160x + 3900 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{160 \pm \sqrt{(-160)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3900}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{25600 - 15600}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{10000}}{2}$$ $$x = \frac{160 \pm 100}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{260}{2} = 130$ (No válida, pues el dominio es $0 \le x \le 120$) 2. $x_2 = \frac{60}{2} = 30$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Son necesarios 30 trabajadores}}$$

**d) ¿Cuáles serían los ingresos con 100 trabajadores?** Los ingresos totales se calculan multiplicando la producción por el precio de venta: $I = p \cdot h$. Para $x = 100$: 1. Producción: $$p(100) = 800(100) - 5(100)^2 = 80000 - 5(10000) = 80000 - 50000 = 30000 \text{ unidades.}$$ 2. Precio por unidad: $$h(30000) = 400 - \frac{30000}{100} = 400 - 300 = 100.$$ 3. Ingresos totales: $$I = 30000 \text{ unidades} \cdot 100 \text{ u.m./unidad} = 3000000.$$ 💡 **Tip:** El ingreso siempre es (Cantidad) $\times$ (Precio). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los ingresos serían de 3.000.000 de unidades monetarias}}$$