Optimización de la producción de carpetas

**a) ¿Cuántas carpetas de cada tipo interesa fabricar para maximizar el beneficio que se obtiene con su venta?** **b) Determinar ese beneficio máximo.** Primero, definimos las variables de decisión que representan lo que queremos calcular: - $x$: número de carpetas de tamaño folio. - $y$: número de carpetas de tamaño cuartilla. La función que queremos maximizar es el beneficio total obtenido por la venta de estas carpetas: $$B(x, y) = 1,4x + 1,1y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, identifica siempre qué te preguntan para definir las variables $x$ e $y$, y qué quieres optimizar (maximizar o minimizar) para escribir la función objetivo.

Para fabricar las carpetas, la empresa tiene limitaciones de material. Debemos expresar estas limitaciones como inecuaciones. Es muy importante que todas las cantidades de la misma magnitud estén en la misma unidad. **1. Restricción de cartón (en $m^2$):** Cada carpeta tipo folio gasta $0,20\,m^2$ y cada una de cuartilla $0,15\,m^2$. El total disponible es $270\,m^2$. $$0,20x + 0,15y \le 270$$ **2. Restricción de cinta de goma (en metros):** Convertimos los centímetros a metros: $30\text{ cm} = 0,30\text{ m}$ y $27\text{ cm} = 0,27\text{ m}$. El total es $432\text{ m}$. $$0,30x + 0,27y \le 432$$ **3. Restricciones de no negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas de carpetas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de trabajar en las mismas unidades. Aquí hemos pasado la cinta de cm a m dividiendo por 100.

Para hallar la solución, representamos gráficamente las inecuaciones. Primero, dibujamos las rectas asociadas: - **Recta 1 (Cartón):** $0,20x + 0,15y = 270$. Si $x=0 \implies y = 1800$. Punto $(0, 1800)$. Si $y=0 \implies x = 1350$. Punto $(1350, 0)$. - **Recta 2 (Cinta):** $0,30x + 0,27y = 432$. Si $x=0 \implies y = 1600$. Punto $(0, 1600)$. Si $y=0 \implies x = 1440$. Punto $(1440, 0)$. La región factible es el área sombreada que cumple todas las condiciones simultáneamente.

Los vértices de la región factible son los puntos donde se cruzan las restricciones. Son candidatos a ser el máximo: - $O(0, 0)$: Origen. - $A(0, 1600)$: Intersección de la recta de la cinta con el eje $y$. - $C(1350, 0)$: Intersección de la recta del cartón con el eje $x$. - $B$: Intersección de las dos rectas de material. Calculamos **$B$** resolviendo el sistema: $$\begin{cases} 0,20x + 0,15y = 270 \\ 0,30x + 0,27y = 432 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $1,5$ para igualar coeficientes de $x$: $$(0,20x \cdot 1,5) + (0,15y \cdot 1,5) = 270 \cdot 1,5 \implies 0,30x + 0,225y = 405$$ Restamos la segunda ecuación menos esta nueva: $$(0,30x - 0,30x) + (0,27y - 0,225y) = 432 - 405$$ $$0,045y = 27 \implies y = \frac{27}{0,045} = 600$$ Sustituimos $y=600$ en la primera: $$0,20x + 0,15(600) = 270 \implies 0,20x + 90 = 270 \implies 0,20x = 180 \implies x = 900$$ Los vértices son: **$O(0,0)$**, **$A(0,1600)$**, **$B(900,600)$** y **$C(1350,0)$**.

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 1,4x + 1,1y$ en cada vértice: - $B(0, 0) = 1,4(0) + 1,1(0) = 0\,€$ - $B(0, 1600) = 1,4(0) + 1,1(1600) = 1760\,€$ - $B(900, 600) = 1,4(900) + 1,1(600) = 1260 + 660 = 1920\,€$ - $B(1350, 0) = 1,4(1350) + 1,1(0) = 1890\,€$ El valor máximo se alcanza en el punto $(900, 600)$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Interesa fabricar 900 carpetas tipo folio y 600 carpetas tipo cuartilla}}$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{El beneficio máximo es de 1920 euros}}$$