Intervalos de confianza para la proporción

**a) Hallar un intervalo, al 98% de confianza, para la proporción de jóvenes que tienen teléfono móvil.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el conjunto total de la muestra: - Tamaño de la muestra ($n$): $120$ jóvenes. - Jóvenes con móvil ($x$): $72$. Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$), que es la probabilidad observada en nuestra muestra: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{72}{120} = 0.6$$ Calculamos también su complementario (proporción de jóvenes sin móvil en la muestra, $\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.6 = 0.4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la proporción muestral $\hat{p}$ es simplemente el número de éxitos dividido por el total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $98\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.98$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.98 = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que en la distribución normal estándar $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor más cercano a $0.99$ corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 2.33$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja un área de $0.98$ en el centro de la campana de Gauss, repartiendo el $2\%$ restante en las dos colas ($1\%$ en cada una).

El error máximo admisible ($E$) para una proporción se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{120}} = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{120}} = 2.33 \cdot \sqrt{0.002}$$ $$E \approx 2.33 \cdot 0.04472 \approx 0.1042$$ El intervalo de confianza se define como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.6 - 0.1042, 0.6 + 0.1042) = (0.4958, 0.7042)$$ ✅ **Resultado (Intervalo al 98%):** $$\boxed{(0.4958, 0.7042)}$$

**b) En dicha muestra, entre los que disponían de teléfono móvil, 50 lo tenían con tarjeta prepago. Entre los jóvenes que tienen teléfono móvil, hallar un intervalo, con el 90% de confianza, para la proporción de los que lo tienen con tarjeta prepago.** En este apartado, la población de estudio cambia. Ahora solo nos interesan los jóvenes que **ya tienen móvil**. - Nuevo tamaño de la muestra ($n'$): $72$ (los que tenían móvil en el apartado anterior). - Jóvenes con tarjeta prepago ($x'$): $50$. Calculamos la nueva proporción muestral ($\hat{p}'$): $$\hat{p}' = \frac{50}{72} \approx 0.6944$$ Calculamos su complementario: $$\hat{q}' = 1 - 0.6944 = 0.3056$$ 💡 **Tip:** Presta mucha atención al enunciado; a veces el tamaño de la muestra se restringe a un subgrupo, como ocurre aquí.

Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.90$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.05$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$: En las tablas de la Normal, para una probabilidad de $0.95$, el valor se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Por tanto, tomamos: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Para el nivel de confianza del $90\%$, el valor $1.645$ es un estándar muy utilizado en exámenes.

Calculamos el nuevo error ($E'$) con los datos del subgrupo: $$E' = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.6944 \cdot 0.3056}{72}}$$ $$E' = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.2122}{72}} = 1.645 \cdot \sqrt{0.002947}$$ $$E' \approx 1.645 \cdot 0.05429 \approx 0.0893$$ Construimos el intervalo $(\hat{p}' - E', \hat{p}' + E')$: $$I.C. = (0.6944 - 0.0893, 0.6944 + 0.0893) = (0.6051, 0.7837)$$ ✅ **Resultado (Intervalo al 90%):** $$\boxed{(0.6051, 0.7837)}$$