Contraste de hipótesis para la proporción de ordenadores

**a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida?** En primer lugar, identificamos los datos del enunciado y definimos la hipótesis que queremos contrastar. La proporción poblacional supuesta es $p_0 = 0.25$ (un 25%). Como la hipótesis afirma que "como máximo" el 25% tienen ordenador, planteamos un contraste unilateral a la derecha: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \le 0.25$ (Se acepta la hipótesis de partida). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \gt 0.25$ (La proporción es significativamente mayor). Los datos de la muestra son: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Habitantes con ordenador: $x = 115$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{115}{400} = 0.2875$ 💡 **Tip:** En un contraste de "como máximo", la región crítica se sitúa en el extremo derecho, ya que solo rechazaremos la hipótesis si el valor observado es mucho mayor que el supuesto.

Para decidir si aceptamos $H_0$, debemos calcular cuánto se aleja la proporción observada ($\hat{p}$) de la teórica ($p_0$) en términos de desviaciones típicas. Usamos la fórmula del estadístico $Z$ para proporciones: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Donde $q_0 = 1 - p_0 = 1 - 0.25 = 0.75$. Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.2875 - 0.25}{\sqrt{\dfrac{0.25 \cdot 0.75}{400}}} = \frac{0.0375}{\sqrt{\dfrac{0.1875}{400}}} = \frac{0.0375}{\sqrt{0.00046875}}$$ $$Z = \frac{0.0375}{0.02165} \approx 1.732$$ El valor de nuestro estadístico de contraste es **$Z_{calc} = 1.732$**.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$, buscamos el valor crítico $Z_{\alpha}$ tal que $p(Z \le Z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 0.99$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$: $$p(Z \le 2.32) = 0.9898$$ $$p(Z \le 2.33) = 0.9901$$ Tomamos como valor aproximado **$Z_{0.01} = 2.33$**. La región de aceptación es el intervalo $(-\infty, 2.33]$. Como nuestro valor calculado $Z_{calc} = 1.732$ es menor que $2.33$, se encuentra dentro de la zona de aceptación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí se puede aceptar la hipótesis de partida con un nivel del 1%}}$$

**b) ¿Se daría la misma respuesta si se toma un nivel de significación igual a 0.1?** Cambiamos el nivel de significación a $\alpha = 0.1$. Buscamos ahora el nuevo valor crítico $Z_{0.1}$ tal que $p(Z \le Z_{0.1}) = 1 - 0.1 = 0.90$. Buscando en la tabla de la normal estándar: $$p(Z \le 1.28) = 0.8997 \approx 0.90$$ El nuevo valor crítico es **$Z_{0.1} = 1.28$**. La región de aceptación ahora es $(-\infty, 1.28]$. Comparamos con nuestro estadístico calculado anteriormente ($Z_{calc} = 1.732$): Como $1.732 \gt 1.28$, el valor cae ahora en la **región crítica** o de rechazo. 💡 **Tip:** Al aumentar el nivel de significación (de 0.01 a 0.1), somos "más exigentes" y es más fácil rechazar la hipótesis nula porque la zona de aceptación se reduce. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la respuesta sería diferente. Para } \alpha=0.1 \text{ se rechaza la hipótesis.}}$$