Consumo de combustible y velocidad (Optimización)

**a) ¿A qué velocidad se obtiene el consumo mínimo? ¿Cuál es dicho consumo mínimo?** Para hallar el consumo mínimo, debemos encontrar el extremo relativo de la función $C(x)$ dentro del intervalo dado $[25, 175]$. El primer paso es calcular la derivada de la función: $$C(x) = 7.5 - 0.05x + 0.00025x^2$$ Derivamos término a término: $$C'(x) = -0.05 + 2 \cdot 0.00025x = -0.05 + 0.0005x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante es 0, la de $ax$ es $a$, y la de $ax^n$ es $n \cdot ax^{n-1}$. $$\boxed{C'(x) = 0.0005x - 0.05}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $x$ donde la pendiente es nula (posibles máximos o mínimos): $$0.0005x - 0.05 = 0$$ $$0.0005x = 0.05$$ $$x = \frac{0.05}{0.0005}$$ $$x = 100 \text{ km/h}$$ Como $x = 100$ pertenece al intervalo $[25, 175]$, es un candidato a mínimo. Para confirmar que es un mínimo, usamos la segunda derivada: $$C''(x) = 0.0005$$ Como $C''(100) = 0.0005 \gt 0$, la función es convexa y, por tanto, en $x = 100$ existe un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** Si $f'(a)=0$ y $f''(a) \gt 0$, entonces hay un mínimo en $a$.

Sustituimos $x = 100$ en la función original $C(x)$ para obtener el valor del consumo: $$C(100) = 7.5 - 0.05(100) + 0.00025(100)^2$$ $$C(100) = 7.5 - 5 + 0.00025(10000)$$ $$C(100) = 2.5 + 2.5 = 5 \text{ litros}$$ ✅ **Resultado (mínimo):** $$\boxed{\text{Velocidad: } 100 \text{ km/h, Consumo: } 5 \text{ litros/100 km}}$$

**b) Realizar un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función $C(x)$ en el intervalo [25,175] y determinar las velocidades que corresponden al consumo máximo.** Analizamos el signo de la primera derivada $C'(x) = 0.0005x - 0.05$ en el intervalo $[25, 175]$, utilizando el punto crítico $x = 100$ para dividir el dominio: $$\begin{array}{c|ccc} x & (25, 100) & 100 & (100, 175) \\ \hline C'(x) & - & 0 & + \\ \hline C(x) & \searrow \text{ (Decrece)} & \text{Mínimo} & \nearrow \text{ (Crece)} \end{array}$$ - **Intervalo de decrecimiento:** $(25, 100)$ - **Intervalo de crecimiento:** $(100, 175)$ 💡 **Tip:** Para saber el signo, toma un valor de prueba. Por ejemplo, si $x=50$, $C'(50) = 0.025 - 0.05 = -0.025 \lt 0$.

Al ser una parábola que decrece hasta el vértice ($x=100$) y luego crece, los máximos absolutos deben estar en los extremos del intervalo: $x=25$ o $x=175$. Calculamos $C(25)$: $$C(25) = 7.5 - 0.05(25) + 0.00025(25)^2 = 7.5 - 1.25 + 0.15625 = 6.40625 \text{ litros}$$ Calculamos $C(175)$: $$C(175) = 7.5 - 0.05(175) + 0.00025(175)^2$$ $$C(175) = 7.5 - 8.75 + 0.00025(30625) = -1.25 + 7.65625 = 6.40625 \text{ litros}$$ En ambos extremos el consumo es el mismo. Esto se debe a que la parábola es simétrica respecto a su eje $x=100$ ($100-25=75$ y $175-100=75$). ✅ **Resultado (máximos):** $$\boxed{\text{Consumo máximo en } x = 25 \text{ km/h y } x = 175 \text{ km/h}}$$