Optimización de beneficios en alquiler de coches

Para resolver este problema de optimización, primero debemos definir una variable que represente el cambio en el precio. Llamamos $x$ al **número de veces que aumentamos el precio en 20€**. A partir de aquí, definimos las funciones para el precio por coche y el número de clientes: - **Precio por coche ($P$):** El precio inicial es $350€$ y aumenta $20€$ por cada unidad de $x$. $$P(x) = 350 + 20x$$ - **Número de clientes ($N$):** Inicialmente hay $400$ clientes y se pierden $10$ por cada unidad de $x$. $$N(x) = 400 - 10x$$ La función de ganancia total $G(x)$ será el producto del precio por el número de clientes: $$G(x) = P(x) \cdot N(x) = (350 + 20x)(400 - 10x)$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización de ingresos, la función suele tener la estructura: $\text{Ingreso} = (\text{Precio}) \times (\text{Cantidad})$. Definir $x$ como el número de aumentos facilita mucho el planteamiento.

Para facilitar la derivación, multiplicamos los binomios de la función $G(x)$: $$G(x) = 350 \cdot 400 - 350 \cdot 10x + 20x \cdot 400 - 20x \cdot 10x$$ $$G(x) = 140000 - 3500x + 8000x - 200x^2$$ $$G(x) = -200x^2 + 4500x + 140000$$ Obtenemos una función cuadrática (una parábola abierta hacia abajo), lo que nos asegura que el extremo que encontraremos será un máximo. $$\boxed{G(x) = -200x^2 + 4500x + 140000}$$

Para encontrar el beneficio máximo, calculamos la derivada de $G(x)$ e igualamos a cero: $$G'(x) = -400x + 4500$$ Igualamos a cero para hallar el valor crítico: $$-400x + 4500 = 0$$ $$-400x = -4500$$ $$x = \frac{4500}{400} = 11,25$$ Esto significa que el beneficio máximo se alcanza cuando realizamos **11,25 aumentos de 20€**. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos críticos donde la pendiente es cero ($f'(x)=0$) son los candidatos a máximos o mínimos.

Debemos comprobar que en $x = 11,25$ existe realmente un máximo. Podemos usar el criterio de la segunda derivada o el estudio del signo de la primera derivada. **Criterio de la segunda derivada:** $$G''(x) = -400$$ Como $G''(11,25) = -400 \lt 0$, confirmamos que se trata de un **máximo relativo**. **Estudio de la monotonía:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 11,25) & 11,25 & (11,25, 40)\\ \hline G'(x) & + & 0 & - \end{array} $$ Al pasar de crecer a decrecer en $x=11,25$, confirmamos el máximo.

El enunciado nos pregunta por el **precio** que debe poner la empresa para maximizar la ganancia. Sustituimos el valor $x = 11,25$ en la expresión del precio $P(x)$ que definimos al principio: $$P = 350 + 20 \cdot (11,25)$$ $$P = 350 + 225$$ $$P = 575€$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El precio óptimo para maximizar la ganancia es de } 575€}$$