Problema de reparto de categorías en una competición escolar

Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es identificar las incógnitas basándonos en la pregunta: ¿cuántos niños hay de cada categoría? Llamaremos: - $x$: número de niños en la categoría **alevines**. - $y$: número de niños en la categoría **infantiles**. - $z$: número de niños en la categoría **juveniles**. 💡 **Tip:** Definir claramente qué representa cada letra es fundamental para no confundirse al final del ejercicio.

Traducimos el enunciado al lenguaje algebraico para formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1. **Participan 1500 niños en total:** $$x + y + z = 1500$$ 2. **Los juveniles son el doble de los alevines:** $$z = 2x \implies 2x - z = 0$$ 3. **Sumados alevines e infantiles, hay 100 menos que juveniles:** $$x + y = z - 100 \implies x + y - z = -100$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 1500 \\ 2x - z = 0 \\ x + y - z = -100 \end{cases}$$

Dado que la segunda ecuación es muy sencilla ($z = 2x$), utilizaremos el método de sustitución. Sustituimos el valor de $z$ en la primera y la tercera ecuación: **En la primera ecuación:** $$x + y + (2x) = 1500 \implies 3x + y = 1500 \quad \text{[Ecuación A]}$$ **En la tercera ecuación:** $$x + y - (2x) = -100 \implies -x + y = -100 \quad \text{[Ecuación B]}$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): $$\begin{cases} 3x + y = 1500 \\ -x + y = -100 \end{cases}$$

Para hallar $x$, restamos la [Ecuación B] a la [Ecuación A] para eliminar la $y$ (método de reducción): $$(3x + y) - (-x + y) = 1500 - (-100)$$ $$3x + y + x - y = 1500 + 100$$ $$4x = 1600$$ $$x = \frac{1600}{4} = 400$$ 💡 **Tip:** El número de personas siempre debe ser un número entero y positivo. Si obtienes un decimal, revisa los pasos anteriores. $$\boxed{x = 400 \text{ alevines}}$$

Ahora calculamos el valor de las otras dos categorías sustituyendo $x = 400$ en las expresiones anteriores: 1. **Para encontrar $y$**, usamos la [Ecuación B]: $$-400 + y = -100$$ $$y = -100 + 400$$ $$y = 300$$ 2. **Para encontrar $z$**, usamos la relación $z = 2x$: $$z = 2 \cdot (400)$$ $$z = 800$$ **Verificación:** - Suma total: $400 + 300 + 800 = 1500$ (Correcto). - Juveniles ($800$) es el doble de alevines ($400$) (Correcto). - Alevines + Infantiles ($400+300=700$) es 100 menos que juveniles ($800-100=700$) (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Alevines: } 400 \\ &\text{Infantiles: } 300 \\ &\text{Juveniles: } 800 \end{aligned}}$$