Aproximación de la Binomial a la Normal

Estamos ante un experimento aleatorio donde cada habitante puede ser diabético o no. Se trata de una **distribución Binomial**. Definimos la variable aleatoria: $X$: "Número de habitantes diabéticos en la muestra". Los parámetros de nuestra distribución son: - $n = 600$ (tamaño de la muestra). - $p = 0.15$ (probabilidad de ser diabético). - $q = 1 - p = 0.85$ (probabilidad de no ser diabético). Por tanto, $X \sim B(600, 0.15)$. 💡 **Tip:** Identificamos una Binomial cuando tenemos un número fijo de ensayos ($n$), cada uno con dos posibles resultados (éxito/fracaso) y probabilidad constante ($p$).

**a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos.** El número esperado (o esperanza matemática) en una distribución binomial se calcula con la fórmula $E[X] = n \cdot p$. En este apartado nos piden el número esperado de **no diabéticos**. Por tanto, usaremos la probabilidad de no ser diabético ($q = 0.85$): $$E[\text{no diabéticos}] = n \cdot q = 600 \cdot 0.85 = 510$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{510 \text{ habitantes}}$$

Para los apartados b) y c), dado que $n$ es muy grande, trabajar con la fórmula de la Binomial sería extremadamente complejo. Comprobamos si podemos aproximar a una **distribución Normal**: 1. $n \cdot p = 600 \cdot 0.15 = 90 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 600 \cdot 0.85 = 510 \gt 5$ Como ambas condiciones se cumplen, podemos aproximar $X$ por una variable normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$ donde: - $\mu = n \cdot p = 90$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{600 \cdot 0.15 \cdot 0.85} = \sqrt{76.5} \approx 8.75$ Por tanto, trabajaremos con $X' \sim N(90, \, 8.75)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**.

**b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80.** Buscamos $p(X \gt 80)$. Aplicando la corrección de continuidad, esto equivale a $p(X' \ge 80.5)$. Ahora **tipificamos** la variable para usar la tabla de la Normal $N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$p(X' \ge 80.5) = p\left(Z \ge \frac{80.5 - 90}{8.75}\right) = p(Z \ge -1.0857)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$p(Z \ge -1.09) = p(Z \le 1.09)$$ Buscando en la tabla de la normal estándar: $$p(Z \le 1.09) = 0.8621$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(X \gt 80) = 0.8621}$$

**c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110.** Buscamos $p(80 \le X \le 110)$. Aplicando la corrección de continuidad para incluir ambos extremos en el intervalo, calculamos $p(79.5 \le X' \le 110.5)$. Tipificamos ambos valores: - Para 79.5: $Z_1 = \frac{79.5 - 90}{8.75} = -1.20$ - Para 110.5: $Z_2 = \frac{110.5 - 90}{8.75} = 2.34$ La probabilidad es: $$p(-1.20 \le Z \le 2.34) = p(Z \le 2.34) - p(Z \le -1.20)$$ Como $p(Z \le -1.20) = 1 - p(Z \le 1.20)$: $$p(-1.20 \le Z \le 2.34) = 0.9904 - (1 - 0.8849) = 0.9904 - 0.1151 = 0.8753$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(80 \le X \le 110) = 0.8753}$$