Contraste de hipótesis y tamaño muestral

**a) Determinar si se puede aceptar la afirmación con $\alpha = 0.05$.** Primero definimos la variable aleatoria $X$, que es el peso de los paquetes de carbón. Según el enunciado, $X \sim N(\mu, 1)$. Queremos contrastar la afirmación del vendedor (el peso medio es como mínimo 20 kg). Esto nos indica un contraste unilateral de una sola cola: - Hipótesis nula $H_0: \mu \ge 20$ (Afirmación del vendedor). - Hipótesis alternativa $H_1: \mu \lt 20$. Los datos de la muestra son: - Tamaño de la muestra: $n = 9$. - Media muestral: $\bar{x} = 19,3$ kgr. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1$ kgr. - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula $H_0$ suele ser la situación de 'no cambio' o la afirmación que queremos verificar si hay pruebas suficientes en contra.

Como la población es normal, el estadístico de contraste para la media sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$Z_{exp} = \frac{19,3 - 20}{1 / \sqrt{9}} = \frac{-0,7}{1/3} = -0,7 \cdot 3 = -2,1$$ Este es el valor experimental que compararemos con el valor crítico para decidir si aceptamos o rechazamos la afirmación. $$\boxed{Z_{exp} = -2,1}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ en un contraste unilateral por la izquierda ($H_1: \mu \lt 20$), buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,05$$ Buscando en las tablas de la normal estándar, el valor que deja un área de $0,05$ a la izquierda es: $$-z_{0,05} = -1,645$$ **Regla de decisión:** Si $Z_{exp} \lt -1,645$, rechazamos $H_0$. En nuestro caso: $$-2,1 \lt -1,645$$ Como el valor experimental cae en la región de rechazo, **rechazamos la hipótesis nula $H_0$**. 💡 **Tip:** Si el valor experimental es más 'extremo' que el valor crítico, significa que la diferencia observada es demasiado grande para deberse al azar, por lo que rechazamos la afirmación inicial. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación del vendedor con } \alpha = 0,05.}$$

**b) Con un nivel de confianza del 90%, ¿qué tamaño muestral es necesario para estimar el peso medio de un paquete de carbón con un error menor de 0,2 kgr.?** Para el cálculo del tamaño muestral, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $90\%$. Si el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0,90$, entonces $\alpha = 0,10$ y $\alpha/2 = 0,05$. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ Mirando en la tabla de la distribución normal estándar: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** El error máximo admisible en una estimación por intervalo de confianza viene dado por la fórmula $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: - $z_{\alpha/2} = 1,645$ - $\sigma = 1$ - $E \lt 0,2$ $$n \gt \left( \frac{1,645 \cdot 1}{0,2} \right)^2$$ $$n \gt (8,225)^2$$ $$n \gt 67,65$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, debemos redondear siempre al alza para asegurar que el error sea **menor** que 0,2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 68 \text{ paquetes}}$$