Inferencia estadística: Intervalo de confianza y contraste de hipótesis para la proporción

**a) Determinar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,95, para la proporción de páginas con faltas de ortografía.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 900$ - Número de páginas con faltas: $x = 351$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{351}{900} = 0.39$$ Calculamos también su complementario $\hat{q}$ (proporción de páginas sin faltas): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.39 = 0.61$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el cociente entre casos favorables y casos totales. Recuerda que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0.025 = 0.975$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: - Para 90%: $1.645$ - Para 95%: $1.96$ - Para 99%: $2.575$ $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

La fórmula para el error máximo admisible en una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.39 \cdot 0.61}{900}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.2379}{900}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.0002643} \approx 1.96 \cdot 0.016258 = 0.03186$$ El intervalo de confianza se define como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.39 - 0.03186 = 0.35814$ - Límite superior: $0.39 + 0.03186 = 0.42186$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (0.3581, 0.4219)}$$

**b) Si $\alpha = 0.1$, ¿se podría rechazar la hipótesis de que, como máximo, el 38% de las páginas escritas por los alumnos de bachillerato tienen algún tipo de faltas de ortografía?** Planteamos las hipótesis del contraste. La afirmación es "como máximo el 38%", lo cual incluye el igual, por lo que va en la hipótesis nula: - Hipótesis nula: $H_0: p \le 0.38$ (Afirmación del problema) - Hipótesis alternativa: $H_1: p \gt 0.38$ (Es un contraste unilateral a la derecha) Datos para el contraste: - Proporción bajo estudio: $p_0 = 0.38$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.1$ - Tamaño de muestra: $n = 900$ - Proporción observada: $\hat{p} = 0.39$ 💡 **Tip:** En los contrastes de "como máximo" o "al menos", la hipótesis alternativa $H_1$ siempre indica hacia qué lado está la región crítica ($>$ derecha, $<$ izquierda).

Calculamos el valor crítico $z_{\alpha}$ para un contraste unilateral derecho con $\alpha = 0.1$: Buscamos $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.1 = 0.90$. En la tabla de la Normal $N(0,1)$, el valor más cercano a $0.90$ es: $$z_{\alpha} = 1.28$$ Calculamos el estadístico de prueba $Z$: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}} = \frac{0.39 - 0.38}{\sqrt{\frac{0.38 \cdot 0.62}{900}}} = \frac{0.01}{\sqrt{0.0002617}} = \frac{0.01}{0.01618} \approx 0.618$$ 💡 **Tip:** El denominador del estadístico usa $p_0$ (el valor de la hipótesis), no $\hat{p}$.

Comparamos el estadístico $Z$ con el valor crítico $z_{\alpha}$: - Estadístico calculado: $Z = 0.618$ - Valor crítico: $z_{\alpha} = 1.28$ Como $0.618 \lt 1.28$, el estadístico **cae en la región de aceptación** (o no rechazo) de $H_0$. Esto significa que no tenemos pruebas suficientes para afirmar que la proporción es superior al $38\%$. Por lo tanto, no se puede rechazar la hipótesis de que, como máximo, el $38\%$ de las páginas tienen faltas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{No se puede rechazar la hipótesis } H_0 \text{ con } \alpha=0.1}$$