Velocidad de un atleta en una carrera de 200 metros

**a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima?¿Cuál es esa velocidad máxima?** Primero, definimos la función de velocidad y su dominio. Dado que la carrera es de 200 metros, la variable $x$ (distancia recorrida) está en el intervalo $x \in [0, 200]$. La función es: $$f(x) = 0.00055x(300 - x)$$ Para facilitar el cálculo de la derivada, multiplicamos los términos: $$f(x) = 0.00055(300x - x^2) = 0.165x - 0.00055x^2$$ Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada $f'(x)$: $$f'(x) = 0.165 - 2 \cdot 0.00055x = 0.165 - 0.0011x$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$0.165 - 0.0011x = 0 \implies 0.0011x = 0.165$$ $$x = \frac{0.165}{0.0011} = 150$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función buscamos sus puntos críticos donde la derivada es cero. En una parábola con coeficiente de $x^2$ negativo, este punto siempre será un máximo.

Una vez sabemos que el máximo se alcanza a los $x = 150$ metros (punto que pertenece al dominio $[0, 200]$), calculamos el valor de la velocidad en ese punto sustituyendo en la función original $f(x)$: $$f(150) = 0.00055 \cdot 150 \cdot (300 - 150)$$ $$f(150) = 0.00055 \cdot 150 \cdot 150$$ $$f(150) = 0.00055 \cdot 22500 = 12.375 \text{ m/s}$$ Comprobamos que es un máximo usando la segunda derivada: $$f''(x) = -0.0011$$ Como $f''(150) \lt 0$, confirmamos que es un **máximo relativo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Distancia: } 150 \text{ m} \quad \text{Velocidad máxima: } 12.375 \text{ m/s}}$$

**b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando?¿Y disminuyendo?** Para estudiar el crecimiento (aumenta) y decrecimiento (disminuye), analizamos el signo de la primera derivada $f'(x) = 0.165 - 0.0011x$ en el dominio de la carrera $[0, 200]$. El punto de corte es $x = 150$. Creamos la tabla de signos: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 150) & 150 & (150, 200) \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 150)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la velocidad aumenta. - En el intervalo $(150, 200)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la velocidad disminuye. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, limita siempre el estudio al dominio físico del problema (en este caso, de 0 a 200 metros). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumenta: } (0, 150) \text{ metros} \quad \text{Disminuye: } (150, 200) \text{ metros}}$$

**c) ¿A qué velocidad llega a la meta?** La meta se encuentra al final del recorrido, es decir, cuando la distancia recorrida es $x = 200$ metros. Calculamos $f(200)$ sustituyendo en la función: $$f(200) = 0.00055 \cdot 200 \cdot (300 - 200)$$ $$f(200) = 0.00055 \cdot 200 \cdot 100$$ $$f(200) = 0.11 \cdot 100 = 11 \text{ m/s}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Velocidad en la meta: } 11 \text{ m/s}}$$