Optimización de beneficios mediante Programación Lineal

**¿cuántas lavadoras de cada tipo debe adquirir para obtener posteriormente el máximo beneficio?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de lavadoras del tipo $L_1$ a adquirir. - $y$: número de lavadoras del tipo $L_2$ a adquirir. A continuación, calculamos el beneficio por unidad de cada tipo para construir la **función objetivo** $B(x, y)$: - Beneficio $L_1$: $25\%$ de $400 = 0,25 \cdot 400 = 100$ € por lavadora. - Beneficio $L_2$: $22\%$ de $500 = 0,22 \cdot 500 = 110$ € por lavadora. La función que queremos maximizar es: $$B(x, y) = 100x + 110y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, identifica siempre primero qué quieres maximizar o minimizar (función objetivo) y qué variables puedes controlar.

El comerciante tiene limitaciones físicas y económicas que debemos expresar como inecuaciones: 1. **Capacidad del almacén:** El total de lavadoras no puede superar las 30 unidades. $$x + y \le 30$$ 2. **Presupuesto disponible:** El coste total de compra no puede superar los 13.000 €. $$400x + 500y \le 13000$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo entre 100 para trabajar con números más manejables: $$4x + 5y \le 130$$ 3. **Restricciones de no negatividad:** Como no se pueden comprar cantidades negativas de lavadoras: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones siempre que sea posible facilita mucho los cálculos de los puntos de corte posteriores.

La región factible es el recinto del plano que cumple todas las restricciones. Sus vértices se obtienen hallando los puntos de intersección de las rectas correspondientes: - **Vértice A (Origen):** Intersección de $x=0$ e $y=0$. Es el punto **$(0, 0)$**. - **Vértice B:** Intersección de $y=0$ con la restricción de presupuesto $4x + 5(0) = 130 \implies x = 32,5$. Sin embargo, este punto debe cumplir $x+y \le 30$. Como $32,5 + 0 > 30$, este no es el vértice. El vértice correcto es el corte de $y=0$ con $x+y=30$, que es el punto **$(30, 0)$**. - **Vértice C:** Intersección de las dos restricciones principales: $$\begin{cases} x + y = 30 \\ 4x + 5y = 130 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-4$: $-4x - 4y = -120$. Sumando a la segunda: $$(-4x + 4x) + (-4y + 5y) = -120 + 130 \implies y = 10$$ Sustituyendo $y=10$ en la primera: $x + 10 = 30 \implies x = 20$. El punto es **$(20, 10)$**. - **Vértice D:** Intersección de $x=0$ con la restricción de presupuesto $4(0) + 5y = 130 \implies y = 26$. Como $0 + 26 \le 30$, este punto es válido. El punto es **$(0, 26)$**. 💡 **Tip:** Para encontrar los vértices, dibuja las rectas en unos ejes y localiza los puntos de esquina del área sombreada común a todas las inecuaciones.

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 100x + 110y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el máximo: - $B(0, 0) = 100(0) + 110(0) = 0$ € - $B(30, 0) = 100(30) + 110(0) = 3000$ € - $B(20, 10) = 100(20) + 110(10) = 2000 + 1100 = 3100$ € - $B(0, 26) = 100(0) + 110(26) = 2860$ € El valor máximo se alcanza en el punto $(20, 10)$, con un beneficio de 3100 €. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe adquirir 20 lavadoras del tipo } L_1 \text{ y 10 lavadoras del tipo } L_2}$$