Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Con un nivel de confianza del 90%, determinar el intervalo de confianza para el sueldo medio de un trabajador del transporte público.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 625$ - Media muestral: $\bar{x} = 1480$ € - Desviación típica poblacional: $\sigma = 250$ € Para un nivel de confianza del $90\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$ 3. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.05$ 4. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2 = 1 - 0.05 = 0.95$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.95$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, observamos que el valor $0.95$ se encuentra justo entre $1.64$ y $1.65$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.645}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza indica la probabilidad de que el verdadero parámetro poblacional se encuentre dentro de nuestro intervalo.

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 1.645 \cdot \frac{250}{\sqrt{625}} = 1.645 \cdot \frac{250}{25} = 1.645 \cdot 10 = 16.45$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (1480 - 16.45, \, 1480 + 16.45)$$ $$IC = (1463.55, \, 1496.45)$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{IC = (1463.55, \, 1496.45) \text{ euros}}$$

**b) Si se quiere que el error máximo de la estimación sea de 10€, hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99%.** Para este nuevo apartado, cambian las condiciones: - Error máximo: $E = 10$ € - Nivel de confianza: $99\%$ - Desviación típica: $\sigma = 250$ € Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $99\%$: 1. $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$ 2. $\alpha/2 = 0.005$ 3. Buscamos el valor tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$: Mirando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, el valor $0.995$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$ (habitualmente se toma $2.575$ o $2.58$). Utilizaremos el valor más preciso: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Al aumentar el nivel de confianza (del $90\%$ al $99\%$), el valor crítico aumenta, lo que hace que necesitemos una muestra mayor para mantener un error pequeño.

Partimos de la fórmula del error y despejamos el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n = \left( \frac{2.575 \cdot 250}{10} \right)^2$$ $$n = (2.575 \cdot 25)^2 = (64.375)^2$$ $$n \approx 4144.14$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos garantizar que el error sea **como máximo** de $10$€, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 4145 \text{ trabajadores}}$$