Inferencia estadística: Contraste de hipótesis y tamaño muestral

**a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?** En primer lugar, definimos la proporción poblacional $p$ como la probabilidad de que una nuez esté vacía. Según la marca, esta proporción es, como máximo, del 6% ($0.06$). Planteamos las hipótesis del contraste: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \le 0.06$ (La afirmación de la marca es cierta). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \gt 0.06$ (La proporción de nueces vacías es mayor a la declarada). Se trata de un **contraste unilateral a la derecha**. Datos de la muestra: - Tamaño muestral: $n = 300$. - Número de nueces vacías: $X = 21$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{21}{300} = 0.07$. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) siempre contiene la igualdad (en este caso $\le$). La hipótesis alternativa ($H_1$) es lo que intentaríamos demostrar si los datos fueran muy distintos de lo esperado.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 0.99$$ Consultando las tablas, para una probabilidad de $0.99$, el valor crítico es **$z_{\alpha} = 2.33$** (aproximadamente). Calculamos ahora el valor del estadístico de contraste $Z_0$: $$Z_0 = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Donde $p_0 = 0.06$ y $q_0 = 1 - 0.06 = 0.94$. Sustituimos: $$Z_0 = \frac{0.07 - 0.06}{\sqrt{\frac{0.06 \cdot 0.94}{300}}} = \frac{0.01}{\sqrt{0.000188}} = \frac{0.01}{0.0137} \approx 0.73.$$ 💡 **Tip:** El estadístico $Z_0$ nos dice a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestro valor muestral del valor teórico de la marca.

Comparamos el estadístico $Z_0$ con el valor crítico $z_{\alpha}$: Como $Z_0 = 0.73$ es menor que $z_{\alpha} = 2.33$ ($0.73 \lt 2.33$), el valor del estadístico **cae dentro de la región de aceptación** de $H_0$. Por lo tanto, no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula con un nivel de significación del 1%. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta la afirmación de la marca: el porcentaje de nueces vacías es } \le 6\%}$$

**b) Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y $1 - \alpha = 0.95$, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces vacías con un error menor del 1%?** Datos para este apartado: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.07$ (por tanto, $\hat{q} = 0.93$). - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. - Error máximo admitido: $E \lt 0.01$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 0.975$. En las tablas de la normal, este valor es **$z_{\alpha/2} = 1.96$**. La fórmula del error para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Despejamos $n$: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.07 \cdot 0.93}{(0.01)^2} = \frac{3.8416 \cdot 0.0651}{0.0001} = \frac{0.25008816}{0.0001} = 2500.88.$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **menor** del 1%, siempre redondeamos al entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error sea igual o menor al solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 2501 \text{ nueces}}$$