Estudio de beneficios y ganancias acumuladas

**a) Determinar cuándo las ganancias serán iguales a 5 millones de euros.** Para resolver este apartado, debemos igualar la función de beneficios $P(t)$ al valor indicado, es decir, $P(t) = 5$. Sustituimos la expresión de la función: $$-2t^2 + 20t + 5 = 5$$ Restamos 5 en ambos miembros para simplificar la ecuación: $$-2t^2 + 20t = 0$$ Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Podemos resolverla factorizando (sacando factor común): $$-2t(t - 10) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $-2t = 0 \implies t = 0$ 2. $t - 10 = 0 \implies t = 10$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las ganancias serán de 5 millones en el momento inicial (} t=0 \text{) y a los 10 años (} t=10 \text{)}}$$

**b) Determinar en qué años decrecerán las ganancias ¿Cuándo son máximas?** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada de la función $P(t)$: $$P'(t) = (-2t^2 + 20t + 5)' = -4t + 20$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-4t + 20 = 0 \implies -4t = -20 \implies t = \frac{-20}{-4} = 5$$ Analizamos el signo de $P'(t)$ en los intervalos determinados por el dominio $[0, 10]$ y el punto crítico $t=5$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,5) & 5 & (5,10) \\\hline P'(t) & + & 0 & - \\\hline P(t) & \text{Creciente } (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente } (\searrow) \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 5)$, si tomamos $t=1$: $P'(1) = -4(1) + 20 = 16 > 0$ (Creciente). - En el intervalo $(5, 10)$, si tomamos $t=6$: $P'(6) = -4(6) + 20 = -4 < 0$ (Decreciente). Las ganancias son máximas en $t=5$. Calculamos el valor del beneficio máximo: $$P(5) = -2(5)^2 + 20(5) + 5 = -2(25) + 100 + 5 = -50 + 105 = 55 \text{ millones.}$$ 💡 **Tip:** Para saber si un punto es máximo o mínimo, también puedes usar la segunda derivada: $P''(t) = -4$. Como $P''(5) < 0$, confirmamos que es un máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decrecen entre los años 5 y 10. Son máximas a los 5 años (55 millones)}}$$

**c) ¿Cuáles serán las ganancias acumuladas durante los cinco primeros años?** Las ganancias acumuladas se calculan mediante la integral definida de la función de beneficios en el intervalo de tiempo deseado, en este caso, desde $t=0$ hasta $t=5$: $$\text{Ganancia Acumulada} = \int_{0}^{5} (-2t^2 + 20t + 5) \, dt$$ Calculamos primero la primitiva: $$\int (-2t^2 + 20t + 5) \, dt = -\frac{2t^3}{3} + \frac{20t^2}{2} + 5t = -\frac{2t^3}{3} + 10t^2 + 5t$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$\left[ -\frac{2t^3}{3} + 10t^2 + 5t \right]_{0}^{5} = \left( -\frac{2(5)^3}{3} + 10(5)^2 + 5(5) \right) - (0)$$ $$= -\frac{2(125)}{3} + 10(25) + 25 = -\frac{250}{3} + 250 + 25 = -\frac{250}{3} + 275$$ Operamos la fracción: $$\frac{-250 + 825}{3} = \frac{575}{3} \approx 191,67$$ 💡 **Tip:** La ganancia acumulada representa el área bajo la curva de la función de beneficios. No olvides que el resultado se expresa en millones de euros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las ganancias acumuladas son } \frac{575}{3} \approx 191,67 \text{ millones de euros}}$$