Optimización del volumen de una caja

**a) ¿Qué medidas debe tener la caja?** Empezamos definiendo las dimensiones de la caja basándonos en el enunciado: - Sea $x$ el ancho de la caja (en metros). - Como el largo es el doble que el ancho, el largo será $2x$. - Sea $h$ el alto de la caja. Se nos indica que la suma de las tres dimensiones es igual a $1$ metro: $$x + 2x + h = 1 \implies 3x + h = 1$$ De aquí podemos despejar la altura $h$ en función de $x$: $$h = 1 - 3x$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso siempre es identificar las variables y expresar todas en función de una sola usando las restricciones del problema.

El volumen de una caja (paralelepípedo) es el producto de sus tres dimensiones: $$V = \text{ancho} \cdot \text{largo} \cdot \text{alto}$$ $$V(x) = x \cdot (2x) \cdot (1 - 3x)$$ $$V(x) = 2x^2(1 - 3x) = 2x^2 - 6x^3$$ Determinamos el **dominio** de la función $V(x)$ basándonos en que las dimensiones deben ser positivas: 1. $x \gt 0$ 2. $h \gt 0 \implies 1 - 3x \gt 0 \implies x \lt \frac{1}{3}$ Por tanto, el dominio de interés es $x \in \left(0, \frac{1}{3}\right)$. $$\boxed{V(x) = 2x^2 - 6x^3}$$

Para hallar el volumen máximo, calculamos la derivada de la función $V(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$V'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 6x^3) = 4x - 18x^2$$ Igualamos a cero: $$4x - 18x^2 = 0 \implies 2x(2 - 9x) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: - $x = 0$ (No válida, ya que no habría caja). - $2 - 9x = 0 \implies x = \frac{2}{9}$ metros. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos críticos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos relativos.

Comprobamos si $x = \frac{2}{9}$ es un máximo estudiando el signo de la primera derivada en el dominio $(0, 1/3)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2/9) & 2/9 & (2/9, 1/3) \\ \hline V'(x) = 2x(2-9x) & + & 0 & - \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $x = 2/9$ y decrece después, confirmamos que existe un **máximo relativo** en ese punto. También podemos usar la segunda derivada: $$V''(x) = 4 - 36x$$ $$V''\left(\frac{2}{9}\right) = 4 - 36\left(\frac{2}{9}\right) = 4 - 8 = -4 \lt 0$$ Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que es un máximo.

Calculamos las medidas de la caja sustituyendo $x = \frac{2}{9}$: - **Ancho:** $x = \frac{2}{9}$ m. - **Largo:** $2x = 2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$ m. - **Alto:** $h = 1 - 3\left(\frac{2}{9}\right) = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ m. ✅ **Resultado (Medidas):** $$\boxed{\text{Ancho} = \frac{2}{9}\text{ m, Largo} = \frac{4}{9}\text{ m, Alto} = \frac{1}{3}\text{ m}}$$

**b) ¿Qué volumen tendrá?** Para calcular el volumen máximo, multiplicamos las dimensiones obtenidas o sustituimos en la función $V(x)$: $$V = \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3}$$ $$V = \frac{8}{243} \text{ m}^3$$ En formato decimal (aproximado): $$V \approx 0.0329 \text{ m}^3$$ ✅ **Resultado (Volumen):** $$\boxed{V = \frac{8}{243} \text{ m}^3}$$