Problema de edades: Juan y sus hijos

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, definimos las variables que representan las edades actuales de cada persona: - $x$: Edad actual de Juan (el padre). - $y$: Edad actual de Pedro (hijo mayor). - $z$: Edad actual de Luis (hijo menor). Traducimos las frases del enunciado a lenguaje algebraico: 1. "La edad de Juan es el doble que la suma de las edades de sus dos hijos": $$x = 2(y + z) \implies x - 2y - 2z = 0$$ 2. "Pedro es 3 años mayor que Luis": $$y = z + 3 \implies y - z = 3$$ 3. "Dentro de 10 años, la edad del padre sobrepasa en 11 años a la suma de las edades de los hijos": Dentro de 10 años, las edades serán: Juan ($x+10$), Pedro ($y+10$) y Luis ($z+10$). $$(x + 10) = (y + 10 + z + 10) + 11$$ Simplificamos esta última ecuación: $$x + 10 = y + z + 20 + 11 \implies x + 10 = y + z + 31 \implies x - y - z = 21$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de edades con saltos en el tiempo, recuerda sumar (o restar) los años transcurridos a **todas** las personas implicadas. El sistema de ecuaciones queda: $$\boxed{\begin{cases} x - 2y - 2z = 0 \\ y - z = 3 \\ x - y - z = 21 \end{cases}}$$

**b) Determinar la edad de cada uno de ellos.** Vamos a resolver el sistema utilizando el método de sustitución, ya que la segunda ecuación nos da una relación directa entre $y$ y $z$. De la segunda ecuación: **$y = z + 3$**. Sustituimos este valor de $y$ en las otras dos ecuaciones: 1. De la primera: $x - 2(z + 3) - 2z = 0$ $$x - 2z - 6 - 2z = 0 \implies x - 4z = 6 \implies x = 4z + 6$$ 2. De la tercera: $x - (z + 3) - z = 21$ $$x - z - 3 - z = 21 \implies x - 2z = 24$$ Ahora sustituimos la expresión de $x$ hallada en el paso anterior ($x = 4z + 6$) en la ecuación resultante: $$(4z + 6) - 2z = 24$$ $$2z + 6 = 24$$ $$2z = 18 \implies z = 9$$ Ahora calculamos las demás edades: - $y = z + 3 = 9 + 3 = 12$ - $x = 4(9) + 6 = 36 + 6 = 42$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es muy eficiente cuando una de las variables ya está casi despejada o tiene coeficiente 1.

Hemos obtenido los siguientes valores: - Juan ($x$): **42 años** - Pedro ($y$): **12 años** - Luis ($z$): **9 años** **Comprobación:** - Juan tiene el doble que la suma de sus hijos: $42 = 2(12 + 9) = 2(21) = 42$. (Correcto) - Pedro es 3 años mayor que Luis: $12 = 9 + 3$. (Correcto) - Dentro de 10 años: - Juan: 52 - Suma hijos: $22 + 19 = 41$ - $52 = 41 + 11$. (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Juan: 42 años, Pedro: 12 años, Luis: 9 años}}$$