Distribuciones de probabilidad: Binomial y Normal

**a) Si un instituto tiene 1400 alumnos ¿cuantos se espera que tengan teléfono móvil?** En este problema, estamos ante una distribución Binomial, donde definimos: - $n = 1400$ (número total de alumnos). - $p = 0.70$ (probabilidad de tener móvil). - $q = 1 - p = 0.30$ (probabilidad de no tener móvil). La cantidad de alumnos que "se espera" que tengan móvil corresponde a la **esperanza matemática** o **media** ($\mu$) de la distribución binomial. La fórmula es: $$\mu = n \cdot p$$ Sustituimos los valores: $$\mu = 1400 \cdot 0.70 = 980$$ 💡 **Tip:** En estadística, cuando nos preguntan "cuánto se espera", se refieren al valor medio o esperanza de la variable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{980 \text{ alumnos}}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 150 alumnos, haya más de 100 con teléfono móvil?** Definimos la variable aleatoria discreta $X \sim B(150, 0.7)$. Como $n$ es grande, comprobamos si podemos aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 150 \cdot 0.7 = 105 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 150 \cdot 0.3 = 45 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos $X$ por una variable normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 105$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{150 \cdot 0.7 \cdot 0.3} = \sqrt{31.5} \approx 5.61$ Por tanto, $X \approx X' \sim N(105, 5.61)$. 💡 **Tip:** Para aproximar una Binomial a una Normal, tanto $np$ como $nq$ deben ser mayores que 5.

Queremos calcular $P(X \gt 100)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \gt 100) \approx P(X' \ge 100.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{100.5 - 105}{5.61}\right) = P\left(Z \ge \frac{-4.5}{5.61}\right) = P(Z \ge -0.80)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -0.80) = P(Z \le 0.80)$$ Buscamos en la tabla $Z$ el valor para $0.80$: $$P(Z \le 0.80) = 0.7881$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 100) = 0.7881}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 200 alumnos, haya como máximo 140 con teléfono móvil?** Ahora la muestra es $n = 200$, por lo que $X \sim B(200, 0.7)$. Comprobamos de nuevo la aproximación a la normal: 1. $n \cdot p = 200 \cdot 0.7 = 140 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 200 \cdot 0.3 = 60 \gt 5$ Calculamos los nuevos parámetros para $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 140$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0.7 \cdot 0.3} = \sqrt{42} \approx 6.48$ Por tanto, $X' \sim N(140, 6.48)$.

Nos piden la probabilidad de que haya "como máximo 140", es decir, $P(X \le 140)$. Aplicamos la corrección de continuidad: $$P(X \le 140) \approx P(X' \le 140.5)$$ Tipificamos: $$P\left(Z \le \frac{140.5 - 140}{6.48}\right) = P\left(Z \le \frac{0.5}{6.48}\right) = P(Z \le 0.077)$$ Redondeamos a dos decimales para usar la tabla estándar: $P(Z \le 0.08)$. Buscamos en la tabla: $$P(Z \le 0.08) = 0.5319$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "como máximo" incluye el valor indicado, por lo que usamos el símbolo $\le$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 140) = 0.5319}$$