Contraste de hipótesis para el precio medio de billetes

**a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0.1, la afirmación de partida?** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Media poblacional bajo la hipótesis ($\mu_0$): $120$ €. - Desviación típica poblacional ($\sigma$): $40$ €. - Tamaño de la muestra ($n$): $100$ viajeros. - Media muestral ($\bar{x}$): $128$ €. - Nivel de significación ($\alpha$): $0.1$. Planteamos el contraste de hipótesis. Como la afirmación dice que el precio es "como máximo" de $120$ €, se trata de un contraste unilateral a la derecha: $$H_0: \mu \le 120$$ $$H_1: \mu \gt 120$$ 💡 **Tip:** La hipótesis nula ($H_0$) suele contener la igualdad o la afirmación de "no cambio", mientras que la alternativa ($H_1$) es lo que queremos contrastar (si el precio es realmente superior). $$\boxed{H_0: \mu \le 120; \quad H_1: \mu \gt 120}$$

Calculamos el estadístico de prueba $Z$, que mide cuántas desviaciones típicas se aleja la media muestral de la media poblacional supuesta. La fórmula es: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{128 - 120}{40 / \sqrt{100}} = \frac{8}{40 / 10} = \frac{8}{4} = 2.$$ 💡 **Tip:** El denominador $\sigma / \sqrt{n}$ se llama error típico de la media. En este caso, el error típico es $4$. $$\boxed{Z_{obs} = 2}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0.1$ en un contraste unilateral a la derecha, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 0.9$. Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.28) \approx 0.8997 \approx 0.90$$ Por tanto, $z_{0.1} = 1.28$. Comparamos el estadístico observado con el valor crítico: Como $Z_{obs} = 2$ es mayor que $z_{0.1} = 1.28$ ($2 \gt 1.28$), el valor cae en la **zona de rechazo**. Conclusión: **No se puede aceptar** la afirmación de la asociación al nivel del $10\%$. $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0 \text{ para } \alpha = 0.1}$$

**b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1%?** Ahora repetimos el proceso para $\alpha = 0.01$. En este caso, buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.01 = 0.99$. Consultando la tabla de la normal: $$P(Z \le 2.32) \approx 0.9898$$ $$P(Z \le 2.33) \approx 0.9901$$ Tomamos el valor más aproximado o la media, habitualmente $z_{0.01} = 2.33$. 💡 **Tip:** A menor nivel de significación (más exigente), la zona de rechazo se aleja más de la media, haciendo que sea más difícil rechazar la hipótesis nula. $$\boxed{z_{0.01} = 2.33}$$

Comparamos de nuevo nuestro estadístico $Z_{obs} = 2$ con el nuevo valor crítico: Como $Z_{obs} = 2$ es menor que $z_{0.01} = 2.33$ ($2 \lt 2.33$), el valor cae ahora en la **zona de aceptación** (o no rechazo). Conclusión: Al nivel del $1\%$, no hay pruebas suficientes para rechazar que el precio medio sea de $120$ €. Por lo tanto, **la conclusión no sería la misma**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Para } \alpha = 0.01 \text{ se acepta } H_0. \text{ La conclusión es distinta.}}$$