Inferencia estadística: Intervalos de confianza y media muestral

**a) Si $\alpha = 0.1$ y, en una muestra de 50 pilas, la duración media es de 500 horas, determinar el intervalo de confianza para la duración media poblacional.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para el apartado a): - Desviación típica poblacional: $\sigma = 80$ - Tamaño de la muestra: $n = 50$ - Media muestral: $\bar{x} = 500$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.1$ Calculamos el nivel de confianza $(1 - \alpha)$: $$1 - \alpha = 1 - 0.1 = 0.90 \implies 90\%$$ Para construir el intervalo, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.1}{2} = 0.95$$ Mirando en las tablas de la distribución normal, el valor $0.9500$ se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.645}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para un nivel de confianza del $90\%$, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ siempre es $1.645$.

El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ viene dado por la fórmula: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{80}{\sqrt{50}} = 1.645 \cdot \frac{80}{7.071} \approx 1.645 \cdot 11.3137 = 18.61$$ Ahora aplicamos los límites del intervalo: - Límite inferior: $500 - 18.61 = 481.39$ - Límite superior: $500 + 18.61 = 518.61$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (481.39, 518.61)}$$

**b) Si la duración de las pilas siguiera una normal de media 500 horas y desviación típica 80 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de 9 pilas sea mayor de 520 horas?** En este apartado, nos preguntan por la probabilidad de la **media de una muestra**. Si la población sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, entonces la media de las muestras de tamaño $n$ sigue una distribución normal de parámetros: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Datos del apartado b): - $\mu = 500$ - $\sigma = 80$ - $n = 9$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{80}{\sqrt{9}} = \frac{80}{3} \approx 26.67$$ Por tanto, la media de las 9 pilas sigue una distribución: $$\boxed{\bar{X} \sim N(500, 26.67)}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental distinguir si nos preguntan por un individuo (población) o por la media de un grupo (muestra). Si es un grupo, la desviación se divide por $\sqrt{n}$.

Queremos calcular $P(\bar{X} \gt 520)$. Para ello, debemos tipificar la variable para poder usar la tabla $N(0,1)$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{X} \gt 520) = P\left(Z \gt \frac{520 - 500}{26.67}\right) = P\left(Z \gt \frac{20}{26.67}\right) = P(Z \gt 0.75)$$ Como la tabla solo nos da valores para $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.75) = 1 - P(Z \le 0.75)$$ Buscamos $0.75$ en la tabla de la normal: - Fila $0.7$, columna $0.05 \implies P(Z \le 0.75) = 0.7734$ Calculamos la probabilidad final: $$1 - 0.7734 = 0.2266$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 520) = 0.2266}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \gt a) = 1 - P(Z \le a)$ por la simetría y porque el área total bajo la curva es $1$.