Estudio del beneficio y cálculo del beneficio acumulado

**a) Hallar, dependiendo de $t$, la función beneficio $B(t)$.** El beneficio $B(t)$ se obtiene multiplicando el número de unidades producidas $c(t)$ por el precio de venta de cada unidad $p(t)$. En este ejercicio no se mencionan costes de producción, por lo que asumimos que el beneficio coincide con los ingresos totales: $$B(t) = c(t) \cdot p(t)$$ Sustituimos las expresiones dadas: $$B(t) = (200 + 10t)(200 - 2t)$$ Realizamos el producto de los binomios: $$B(t) = 200 \cdot 200 - 200 \cdot 2t + 10t \cdot 200 - 10t \cdot 2t$$ $$B(t) = 40000 - 400t + 2000t - 20t^2$$ Agrupamos los términos semejantes y ordenamos el polinomio: $$B(t) = -20t^2 + 1600t + 40000$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el beneficio es siempre $\text{Ingresos} - \text{Costes}$. Si no nos dan la función de costes, operamos simplemente con la función de ingresos (unidades $\times$ precio). ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(t) = -20t^2 + 1600t + 40000}$$

**b) Determinar el intervalo de decrecimiento para $B(t)$ cuando $t \leq 100$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función, calculamos su primera derivada $B'(t)$: $$B'(t) = \frac{d}{dt}(-20t^2 + 1600t + 40000)$$ $$B'(t) = -40t + 1600$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-40t + 1600 = 0 \implies 40t = 1600 \implies t = \frac{1600}{40} = 40$$ El punto crítico se encuentra en $t = 40$. Como el enunciado restringe el estudio a $t \leq 100$ y el tiempo no puede ser negativo, analizaremos el signo de $B'(t)$ en el intervalo $[0, 100]$ dividiéndolo en el punto $t=40$.

Estudiamos el signo de $B'(t) = -40t + 1600$ en los intervalos definidos por el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 40) & 40 & (40, 100]\\ \hline B'(t) & + & 0 & -\\ \hline B(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Para un valor en $(0, 40)$, por ejemplo $t = 10$: $B'(10) = -40(10) + 1600 = 1200 \gt 0$ (Creciente). - Para un valor en $(40, 100)$, por ejemplo $t = 50$: $B'(50) = -40(50) + 1600 = -400 \lt 0$ (Decreciente). 💡 **Tip:** Una función es decreciente en los intervalos donde su primera derivada es negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El intervalo de decrecimiento es } (40, 100]}$$

**c) Hallar el beneficio acumulado durante los 90 primeros días.** El beneficio acumulado se calcula mediante la integral definida de la función beneficio $B(t)$ desde el inicio ($t = 0$) hasta el día 90 ($t = 90$): $$\text{Beneficio Acumulado} = \int_{0}^{90} B(t) \, dt = \int_{0}^{90} (-20t^2 + 1600t + 40000) \, dt$$ Calculamos la primitiva de la función: $$G(t) = \left[ -\frac{20t^3}{3} + \frac{1600t^2}{2} + 40000t \right] = \left[ -\frac{20t^3}{3} + 800t^2 + 40000t \right]$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites superior e inferior: $$\text{B.A.} = G(90) - G(0)$$ $$\text{B.A.} = \left( -\frac{20(90)^3}{3} + 800(90)^2 + 40000(90) \right) - (0)$$ $$\text{B.A.} = -\frac{20(729000)}{3} + 800(8100) + 3600000$$ $$\text{B.A.} = -20(243000) + 6480000 + 3600000$$ $$\text{B.A.} = -4860000 + 6480000 + 3600000$$ $$\text{B.A.} = 5220000$$ 💡 **Tip:** La integral de un valor que representa una tasa o flujo (como beneficio por día) nos da el valor total acumulado en ese periodo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{5220000 \text{ euros}}$$