Optimización de la producción de trufas

**Determinar cuántas trufas de cada tipo deben fabricarse para maximizar las ganancias.** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de trufas de tipo **normal**. - $y$: número de trufas de tipo **amarga**. El objetivo es maximizar las ganancias totales. Según el enunciado, cada trufa normal genera $0.75$ € y cada amarga $2$ €. Por tanto, la función objetivo $Z(x,y)$ es: $$Z(x,y) = 0.75x + 2y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables por lo que te pregunta el problema (en este caso, cantidad de cada tipo de trufa).

Debemos unificar las unidades. Como los ingredientes de las trufas están en gramos ($g$), convertimos las existencias de la pastelería de kilogramos ($kg$) a gramos: - Cacao: $30\text{ kg} = 30000\text{ g}$ - Nata: $8\text{ kg} = 8000\text{ g}$ - Azúcar: $7\text{ kg} = 7000\text{ g}$ Ahora planteamos las inecuaciones basadas en el consumo de cada ingrediente: 1. **Cacao:** $20x + 100y \le 30000 \implies x + 5y \le 1500$ 2. **Nata:** $20x + 20y \le 8000 \implies x + y \le 400$ 3. **Azúcar:** $20x + 10y \le 7000 \implies 2x + y \le 700$ 4. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ (no se pueden fabricar cantidades negativas). 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones dividiendo por el máximo común divisor ayuda a trabajar con números más pequeños al dibujar las rectas.

La región factible es el área que cumple todas las restricciones. Para hallarla, representamos las rectas asociadas y buscamos los puntos de corte: - **Recta 1 (Cacao):** $x + 5y = 1500$. Pasa por $(0, 300)$ y $(1500, 0)$. - **Recta 2 (Nata):** $x + y = 400$. Pasa por $(0, 400)$ y $(400, 0)$. - **Recta 3 (Azúcar):** $2x + y = 700$. Pasa por $(0, 700)$ y $(350, 0)$. Los vértices de la región factible son: - $A(0, 0)$ - $B(0, 300)$: Intersección de $x=0$ con la recta 1. - $C$: Intersección de recta 1 y recta 2. $$\begin{cases} x + 5y = 1500 \\ x + y = 400 \end{cases} \implies 4y = 1100 \implies y = 275, \, x = 125 \implies C(125, 275)$$ - $D$: Intersección de recta 2 y recta 3. $$\begin{cases} x + y = 400 \\ 2x + y = 700 \end{cases} \implies x = 300, \, y = 100 \implies D(300, 100)$$ - $E(350, 0)$: Intersección de $y=0$ con la recta 3.

Evaluamos $Z(x,y) = 0.75x + 2y$ en cada vértice para encontrar el máximo: - $Z(A) = 0.75(0) + 2(0) = 0$ - $Z(B) = 0.75(0) + 2(300) = 600$ - $Z(C) = 0.75(125) + 2(275) = 93.75 + 550 = 643.75$ - $Z(D) = 0.75(300) + 2(100) = 225 + 200 = 425$ - $Z(E) = 0.75(350) + 2(0) = 262.5$ El valor máximo se alcanza en el punto $C(125, 275)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Deben fabricarse 125 trufas normales y 275 trufas amargas para una ganancia máxima de 643.75 euros.}}$$