Inferencia estadística: Intervalo de confianza y distribución de la media muestral

**a) Si para una muestra de 400 estudiantes se ha obtenido una media muestral igual a 8 horas dedicadas a dormir, establecer un intervalo de confianza del 95% para $\mu$.** Primero, identificamos los datos proporcionados por el enunciado para la variable $X$ (horas de sueño), que sigue una distribución normal: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1.5$ - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Media muestral: $\bar{x} = 8$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 2. $\alpha/2 = 0.025$ 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975 \implies \mathbf{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ para el $90\%$, $1.96$ para el $95\%$ y $2.575$ para el $99\%$.

El error máximo admisible $E$ para un intervalo de confianza de la media se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos nuestros valores: $$E = 1.96 \cdot \frac{1.5}{\sqrt{400}} = 1.96 \cdot \frac{1.5}{20} = 1.96 \cdot 0.075 = 0.147$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (8 - 0.147, \; 8 + 0.147) = (7.853, \; 8.147)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C._{\mu} = (7.853, \; 8.147)}$$

**b) Si se admite que $\mu = 8$ y se toma una muestra de 36 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral de horas dedicadas a dormir sea menor o igual que 7.5.** En este apartado nos dan nuevos datos: - Media poblacional: $\mu = 8$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1.5$ - Nuevo tamaño de muestra: $n = 36$ Sabemos que la media muestral $\bar{X}$ de una población normal $N(\mu, \sigma)$ sigue una distribución normal de parámetros: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{1.5}{\sqrt{36}} = \frac{1.5}{6} = 0.25$$ Por tanto: $\bar{X} \sim N(8, \; 0.25)$. 💡 **Tip:** Recuerda que al trabajar con medias muestrales, la dispersión (desviación típica) disminuye según aumenta el tamaño de la muestra.

Queremos calcular $p(\bar{X} \le 7.5)$. Para ello, tipificamos la variable para poder usar la tabla $N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$p(\bar{X} \le 7.5) = p\left(Z \le \frac{7.5 - 8}{0.25}\right)$$ $$p\left(Z \le \frac{-0.5}{0.25}\right) = p(Z \le -2)$$ Como la distribución normal es simétrica: $$p(Z \le -2) = p(Z \ge 2) = 1 - p(Z \le 2)$$ Buscamos el valor $2$ en la tabla de la normal estándar: $$1 - 0.9772 = 0.0228$$ ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{p(\bar{X} \le 7.5) = 0.0228}$$